Grellingin–Nelsonin paradoksi
Grellingin–Nelsonin paradoksi on semanttinen itseviittaavuuteen liittyvä paradoksi, jonka Kurt Grelling ja Leonard Nelson muotoilivat vuonna 1908. Se yhdistetään välillä virheellisesti saksalaiseen filosofi ja matemaatikko Hermann Weyhin. Paradoksia kutsutaan toisinaan nimillä Weylin paradoksi ja Grellingin paradoksi. Grellingin–Nelsonin paradoksi muistuttaa läheisesti joitakin muita tunnettuja paradokseja, erityisesti parturin paradoksia ja Russellin paradoksia.
Paradoksi
Oletetaan, että kuvailevat sanat (kuten adjektiivit) voidaan luokitella ”autologisiksi” ja ”heterologisiksi” seuraavasti:
- Sana on autologinen (joskus homologinen) jos ja vain jos se kuvaa itseään. Esimerkiksi sana ”suomenkielinen” on autologinen, koska sana ”suomenkielinen” on suomenkielinen. Myös esimerkiksi ”tavanomainen” ja ”tavuviivaton” ovat autologisia.
- Sana on heterologinen jos se ei kuvaa itseään. Esimerkiksi sana ”pitkä” on heterologinen, samoin ”kaksitavuinen”.
Vaikuttaisi siltä, että kaikki adjektiivit voidaan luokitella auto- tai heterologisiksi, koska jokainen adjektiivi joko kuvaa itseään tai ei. Grellingin–Nelsonin paradoksi ilmenee, kun yritetään luokitella sanaa ”heterologinen”. Esimerkiksi kuvitteellisen ”pönkihtävä”-sanan autologisuutta voidaan kokeilla määrittämällä, onko ”pönkihtävä” pönkihtävä sana. Jos vastaus on ”kyllä”, ”pönkihtävä” on autologinen. Jos vastaus on ”ei”, se on heterologinen. Toisaalta voidaan kysyä onko ”heterologinen” heterologinen sana. Jos vastaus on ”kyllä”, ”heterologinen” on autologinen (mikä johtaa ristiriitaan). Jos vastaus on ”ei”, ”heterologinen” on heterologinen (mistä seuraa taas ristiriita, koska ei-heterologinen eli autologinen sana kuvaisi itseään).
Paradoksi voidaan ratkaista muuttamatta käsitteen heterologinen merkitystä muuntamalla sen määritelmää siten, että se käsittää kaikki epäautologiset sanat paitsi sanan ”heterologinen”. Sanaan ”epäautologinen” liittyy sama paradoksi kuin sanaan ”heterologinen”, johon tämä ratkaisu ei päde, koska kielelliset säännöt määrittävät sen merkityksen sanasta ”autologinen” eroavaksi. Samankaltainen määritelmänmuutos koskien sanaa ”autologinen” (kuten sen määritteleminen ei-”epäautologiseksi” tai vastaavaksi) saattaa vaikuttaa ratkaisevan paradoksin, mutta paradoksi käsittää silti sanojen ”autologinen” ja ”heterologinen” synonyymit kuten ”itseäkuvaava” ja ”itseäkuvaamaton”, joisen merkityksiä olisi myös määriteltävä uudelleen, jolloin näillä muutoksilla olisi seuraamuksia ja niin edelleen. Grellingin–Nelsonin paradoksin poistamiseksi kielestä pelkästään sanojen ”autologinen” ja ”heterologinen” (ja niiden synonyymien) määritelmien muuntelu ei riitä, vaan siihen vaaditaan paljon enemmän kielen muuntelua. Näiden ongelmien laajuutta voidaan verrata matemaattisia joukkoja käsittelevään Russellin paradoksiin seuraavin perustein.
Onko sana ”autologinen” autologinen?
Voidaan kysyä onko sana ”autologinen” ”autologinen”. Tähän voidaan vastata kahdella eri tavalla:
- jos vastataan, että ”autologinen” on autologinen, ja kysytään kuvaako sana itseään, vastaus on kyllä, ja sana on täten autologinen;
- jos vastataan, että ”autologinen” ei ole autologinen, ja kysytään kuvaako sana itseään, vastaus on ei, ja sana ei täten ole autologinen.
Tämä on sanan ”heterologinen” tilanteen vastakohta: ”heterologinen” ei voi loogisesti olla autologinen tai heterologinen, mutta ”autologinen” voi olla kumpi tahansa, joskaan ei kumpiakin yhtä aikaa.
Loogisesti esitettynä sanan ”autologinen” tilanne on seuraava:
- ”autologinen” on autologinen jos ja vain jos ”autologinen” on autologinen
- A jos ja vain jos A; tautologia
kun taas sanan ”heterologinen” tilanne on:
- ”heterologinen” on heterologinen jos ja vain jos ”heterologinen” on autologinen
- A jos ja vain jos ei A; kontradiktio.
Vastaavuudet Russellin paradoksiin
Grellingin–Nelsonin paradoksi voidaan soveltaa Bertrand Russellin paradoksiksi seuraavasti: ensin jokaiselle kuvailevalle sanalle on määriteltävä joukko, jonka jäseniin kyseinen sana pätee. Esimerkiksi adjektiivi ”punainen” on siis sama kuin pelkästään punaisia asioita käsittävä joukko, ja sana ”monitavuinen” on sama kuin monitavuisten asioiden joukko, johon sana ”monitavuinen” itsekin kuuluu. Näin autologinen sana voidaan määritellä joukoksi, jonka yksi jäsen on joukko itse. Kysymys sanan ”heterologinen” heterologisuudesta voidaan siis esittää kysymyksenä siitä, sisältääkö kaikki ei-itsensä sisältävät joukot käsittävä joukko itsensä vai ei.