Greenin teoreema

Greenin teoreema on Stokesin lauseeseen tiiviisti liittyvä lause, jonka mukaan:

${\displaystyle \oint _{\Gamma }Pdx+Qdy=\int _{A}\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)dxdy}$,[1]

missä

• ${\displaystyle P\equiv P(x,y)}$ ja ${\displaystyle Q\equiv Q(x,y)}$
• ${\displaystyle \Gamma }$ on suljettu polku, joka rajaa pinnan A euklidisessa 3-avaruudessa. Polkuintegraali lasketaan vastapäivään, kun sitä katsotaan pinnan ulkopuolelta, ja pinnan normaali osoittaa pinnan ulkopuolelle.

Greenin teoreemaan saavutaan, kun määritellään ${\displaystyle \mathbf {F} =P(x,y)\mathbf {i} +Q(x,y)\mathbf {j} }$, josta roottori:

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} =\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\mathbf {k} }$.

Sovelletaan Stokesin lausetta, kun ${\displaystyle \Gamma }$ on suljettu polku tasolla ${\displaystyle z=0\,\!}$:

${\displaystyle \oint _{\Gamma }\mathbf {F} .d\mathbf {l} =\oint _{\Gamma }Pdx+Qdy=\int _{A}\left(\nabla \times \mathbf {F} \right).\mathbf {k} dS=\int _{A}\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)dxdy}$.

Teoreema on nimetty brittiläisen George Greenin mukaan.