Georg Cantor

Cantor on tullut kuuluisaksi erityisesti äärettömien joukkojen mahtavuutta koskevista tutkimuksistaan. Ensimmäisen äärettömyyden ongelmia käsittelevän kirjoituksensa hän julkaisi vuonna 1874. Siinä hän esittää luokittelun äärettömille joukoille ja äärettömien kardinaali- ja ordinaalilukujen aritmetiikan.^lähde?

Cantor määritteli joukkojen mahtavuuden käsitteen tarkastelemalla joukkojen välisiä yksi yhteen -kuvauksia. Kahta joukkoa voidaan pitää keskenään yhtä mahtavina, jos niiden välille voidaan määrittää yksi yhteen -kuvaus. Jokaisella äärellisellä joukolla on se ominaisuus, että se on mahtavampi kuin mikä tahansa sen aito osajoukko. Ääretön joukko sen sijaan voi olla yhtä mahtava kuin sen aito osajoukko. Esimerkiksi kaikkien luonnollisten lukujen joukko ${\displaystyle \mathbb {N} }$ on yhtä mahtava kuin parillisten luonnollisten lukujen joukko ${\displaystyle 2\mathbb {N} }$.^lähde?

Kahden joukon välinen kuvaus.

Cantor osoitti, että algebrallisten lukujen joukon mahtavuus on sama kuin luonnollisten lukujen. Kokonaislukukertoimiselle polynomille voidaan nimittäin määritellä korkeus, joka on polynomin asteluvun ja sen kertoimien itseisarvojen summa. Kutakin korkeutta kohden on olemassa ainoastaan äärellinen määrä algebrallisia lukuja, jotka saadaan kyseistä korkeutta olevien polynomien nollakohtina.^lähde?

Äärettömien joukkojen mahtavuutta tarkastellessaan Cantor havaitsi, että kaikkien äärettömien joukkojen mahtavuuden ei tarvitse olla sama, toisin kuin häntä ennen oli ajateltu. Cantor onnistui osoittamaan, että esimerkiksi reaalilukujen joukko ${\displaystyle \mathbb {R} }$ on mahtavampi kuin luonnollisten lukujen joukko ${\displaystyle \mathbb {N} }$. Tähän hän päätyi muun muassa diagonaalikonstruktiollaan.^lähde?

Cantorin tuloksista seuraa, että kaikki reaaliluvut eivät ole algebrallisia. Ei-algebrallisia reaalilukuja (ja kompleksilukuja) sanotaan transkendenttiluvuiksi. Jonkin aikaa olikin ongelmana, että näitä lukuja tiedettiin olevan olemassa, mutta niitä ei heti onnistuttu konstruoimaan. Transkendenttilukujen tutkimus on nykyään merkittävä algebrallisen lukuteorian tutkimushaara.^lähde?

Cantor osoitti, että annetun joukon potenssijoukko eli kaikkien osajoukkojen joukko on aina mahtavampi kuin joukko itse. Tällä tavalla hän sai muodostettua äärettömien joukkojen jonon ${\displaystyle \mathbb {N} ,P(\mathbb {N} ),P(P(\mathbb {N} )),...}$ jossa jokainen uusi joukko on aina edeltäjäänsä mahtavampi.^lähde?

Cantor otti käyttöön lyhyet merkinnät edellä olevan jonon kardinaaliluvuille, toisin sanoen yhtä mahtavien joukkojen kokoelmille. Pienintä ääretöntä eli luonnollisten lukujen joukon kardinaalilukua hän merkitsi heprealaisella alef-kirjaimella varustettuna alaindeksillä 0, ts. ${\displaystyle \aleph _{0}}$, luonnollisten lukujen potenssijoukon kardinaalilukua ${\displaystyle \aleph _{1}}$ jne.^lähde?

Cantorin onnistui osoittaa, että reaalilukujen joukon kardinaaliluku on yhtä suuri kuin luonnollisten lukujen joukon kaikkien osajoukkojen kokoelman kardinaaliluku. Pyrkiessään osoittamaan tämän ensimmäiseksi ylinumeroituvaksi kardinaaliluvuksi hän päätyi esittämään niin sanotun kontinuumihypoteesin. Hypoteesin mukaan ei ole olemassa joukkoa, jonka mahtavuus olisi suurempi kuin luonnollisten lukujen joukon numeroituva äärettömyys, mutta pienempi kuin sen osajoukkojen kokoelman. Lukuisista yrityksistä huolimatta kontinuumihypoteesia ei onnistuttu todistamaan eikä kumoamaan. Sen sijaan nykyisin tiedetään (Gödel, 1938, ja Cohen, 1963), että kumpikaan vaihtoehto ei ole ristiriidassa joukko-opin aksioomien kanssa. Näin ollen kontinuumihypoteesia ei voida joukko-opin aksioomien perusteella todistaa eikä kumota. Se on niistä riippumaton.^lähde?

Cantorin ajatukset kohtasivat matemaatikkopiireissä runsaasti vastustusta. Cantorin vastustajista tunnetuimpia oli Leopold Kronecker. Henri Poincarén väitetään sanoneen: "Tulevat sukupolvet toteavat, että joukko-oppi oli sairautta, josta olemme onneksi parantuneet".[5] Osaksi vastustuksen voidaan katsoa johtuneen matemaatikoiden piintyneistä ajatustavoista ja ennakkoluuloista. Joukon käsitteen epämääräisyys antoi kuitenkin pian aihetta myös vakaville vastaväitteille. Merkittävät loogiset paradoksit, joista tunnetuimpia lienee Russellin paradoksi, osoittivat "liian suuriin" joukkoihin liittyvän erittäin vakavia loogisia ongelmia. Russellin paradoksi syntyy, kun ajatellaan muodostettavaksi joukko, jonka alkioina ovat ne joukot, jotka eivät ole itsensä alkioita. Tällöin kyseinen joukko on itsensä alkio, jos ja vain jos se ei ole itsensä alkio. Paradoksien vuoksi matemaatikoiden oli lähdettävä etsimään joukko-opille sellaista aksiomaattista perustaa, jonka avulla paradoksit tai niitä aiheuttavat joukot voitaisiin sulkea teoriasta pois. Aksiomaattista lähestymistapaa kehitti saksalainen Ernst Zermelo (1871–1956). Bertrand Russell ja Alfred North Whitehead ja kehittivät Principia Mathematica -teoksessaan (1910–1913) samaan tarkoitukseen joukkoja luokittelevan tyyppiteorian.^lähde?

Cantorin ajatuksia vastustivat myös filosofit, kuten Wittgenstein, ja jopa jotkut teologit, joiden mielestä äärettömyyden määrittely muuttaa käsitystämme Jumalasta. Cantor itse oli hyvin uskonnollinen mies.[5]

Cantor otti teoriaansa kohdistuneen kritiikin hyvin vakavasti. Hän pyrkikin tukemaan nuoria tieteenharjoittajia, jotta heidän uudet näkemyksensä otettaisiin vastaan rakentavammalla tavalla.[2]

Paheneva mielisairaus haittasi hänen elämäänsä vuodesta 1884 alkaen.[2] Hänen äitinsä, veljensä ja pienen poikansa kuolemat aiheuttivat lisää stressiä. Cantor oli ajoittain virkavapaalla opetustyöstä ja vietti aikaansa parantoloissa vuodesta 1899 alkaen. Aina välillä hän kuitenkin palasi töihin. Hän kirjoitti julkaisuja myös kirjallisuudentutkimuksen, filosofian ja uskonnon alueilta. Cantor jäi eläkkeelle 1913 ja kuoli sydänkohtaukseen 1918.[1]