Geometrinen sarja

Matematiikassa geometrisella sarjalla tarkoitetaan sarjaa, jossa kahden peräkkäisen termin suhde on vakio. Jos tämä vakio on q ja sarjan ensimmäinen termi on a, sarjan n:s termi on aq^n-1. Tällöin sarjaa merkitään

Kuvasta nähdään, että geometrinen sarja 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... suppenee kohti lukua 2.

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }aq^{k}=aq^{0}+aq^{1}+aq^{2}+\cdots }$[1]

Sarja suppenee, kun −1 < q < 1, ja tällöin sen summaksi saadaan

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }aq^{k}={\frac {a}{1-q}}.}$

Osasummille on voimassa[2]

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}aq^{k}=a\cdot {\frac {1-q^{n}}{1-q}},}$ kun ${\displaystyle q\neq 1.}$

${\displaystyle \sum _{k=m}^{n-1}aq^{k}=a\cdot {\frac {q^{m}-q^{n}}{1-q}},}$ kun ${\displaystyle q\neq 1.}$

Todistus osasumman kaavalle:

Olkoon n määrä sarjan termejä seuraavasti: ${\displaystyle aq^{0}+aq^{1}+aq^{2}+\cdots +aq^{n-1}}$

Merkitään osasummaa seuraavasti ${\displaystyle S=:aq^{0}+aq^{1}+aq^{2}+\cdots +aq^{n-1}\Rightarrow }$

${\displaystyle qS=aq^{1}+aq^{2}+aq^{3}+\cdots +aq^{n}\Rightarrow }$

${\displaystyle S-qS=a-aq^{n}\Rightarrow }$

${\displaystyle S=a{\frac {1-q^{n}}{1-q}}}$