Geometrinen keskiarvo

Geometrista keskiarvoa kutsutaan joskus myös logaritmiseksi keskiarvoksi, koska logaritmi- ja eksponenttifunktioiden avulla ${\displaystyle g(x)}$ voidaan laskea muodostamalla lukujen ${\displaystyle a}$-kantaisten logaritmien aritmeettinen keskiarvo ja laskemalla tuloksesta ${\displaystyle a}$-kantainen eksponenttifunktio:

${\displaystyle g(x)=a^{{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\log _{a}x_{i}}}$,

missä ${\displaystyle a}$ on positiivinen luku.

Yleensä kuitenkin kahden luvun logaritminen keskiarvo määritellään kaavalla

${\displaystyle L(x,y)={\frac {x-y}{lnx-lny}}}$,

missä ${\displaystyle x}$ ja ${\displaystyle y}$ ovat erisuuria positiivisia lukuja. Kahden erisuuren positiivisen luvun logaritminen keskiarvo on suurempi kuin niiden geometrinen keskiarvo ja pienempi kuin niiden aritmeettinen keskiarvo.[1]

Jos lukuja on vain kaksi, niiden geometrisesta keskiarvosta käytetään myös nimitystä keskiverto. Tämä selittyy sillä, että jos verrannossa

${\displaystyle {\frac {A}{B}}={\frac {C}{D}}}$

sen keskimmäiset jäsenet ${\displaystyle B}$ ja ${\displaystyle C}$ ovat yhtä suuret, niin tällöin kyseinen luku on suuruudeltaan verrannon äärimmäisten jäsenten ${\displaystyle A}$ ja ${\displaystyle D}$ geometrinen keskiarvo, toisin sanoen ${\displaystyle B=C={\sqrt {A\cdot D}}}$.

• Keskiluku
• Aritmeettinen keskiarvo
• Harmoninen keskiarvo