Genus (matematiikka)

Seuraavat määritelmät aritmeettiselle ja geometriselle genukselle löytyvät Qing Liun kirjasta "Algebraic Geometry and Arithmetic Curves":

Olkoon ${\displaystyle X}$ projektiivinen käyrä yli algebrallisesti suljetun kunnan ${\displaystyle k}$. Tällöin ${\displaystyle X}$:n aritmeettinen genus on määritellään Eulerin karakteristikan avulla

${\displaystyle p_{a}(X):=1-\chi _{k}({\mathcal {O}}_{X}),}$

joka riippuu ${\displaystyle k}$:sta. Jos ${\displaystyle Y}$ on sileä projektiivinen varisto yli ${\displaystyle k}$:n, niin ${\displaystyle Y}$:n geometrinen genus on

${\displaystyle p_{g}(Y)=\operatorname {dim} _{k}H^{0}(y,\omega _{Y/k}),}$ missä ${\displaystyle \omega }$ on dualisoituva (tai kanoninen) lyhde ja ${\displaystyle H^{0}}$ tarkoittaa ${\displaystyle \omega _{Y/k}}$:n nollatta Čechin kohomologiaryhmää.

Yleisesti ei-algebrallisesti suljetussa kunnassa ${\displaystyle k}$ määritellään korkeampiuloitteisten ja ei-jaottoman variston aritmeettinen genus asettamalla[3]

${\displaystyle p_{a}(X):=(-1)^{\operatorname {dim} X}(\chi (X,{\mathcal {O}}_{X})-1),}$

missä ${\displaystyle \chi }$ on rakennelyhteen Eulerin–Poincarén karakteristika.

Kun X on algebrallinen käyrä, jonka kuntana on kompleksiluvut, ja X:llä ei ole singulaarisia pisteitä, molemmat määritelmät kuvaavat pinnan kahvojen lukumäärää. Sen sijaan yleisessä tapauksessa aritmeettinen genus voi olla myös negatiivinen luku.