Gammafunktio

Gammafunktio on funktio, jolle käytetään symbolia ${\displaystyle \Gamma }$ (iso gamma), ja joka voidaan tulkita kertoman yleistyksenä reaali- ja kompleksiluvuille. Sen arvo on Riemannin integraalilla merkittynä

${\displaystyle \Gamma (r)=\int _{0}^{\infty }x^{r-1}e^{-x}\,dx}$.

Gammafunktion kuvaaja pienillä positiivisilla arvoilla

[1]

Gammafunktio on määritelty kaikilla arvoilla paitsi ei-positiivisilla kokonaisluvuilla. Näissä pisteissä integraalin raja-arvo on ääretön. Kaikista kertomafunktion yleistyksistä gammafunktio on erityinen, sillä Bohrin-Mollerupin lauseen mukaan se on ainoa, joka on logaritmisesti konveksi ts. sen luonnollinen logaritmi on konveksi.

Gammafunktion arvoa ei pysty antamaan suljetussa muodossa mielivaltaisessa pisteessä.

Gammafunktioon saavutaan, kun toistuvasti derivoidaan integraaliyhtälöä ${\displaystyle I=\int _{0}^{\infty }e^{-ax}dx={\frac {1}{a}}}$. ${\displaystyle I\,\!}$ on vain parametrin a funktio, kuten voimme odottaa. Siispä:

${\displaystyle {\frac {dI}{da}}=\int _{0}^{\infty }{\frac {\partial }{\partial a}}\left(e^{-ax}\right)dx={\frac {d}{da}}\left({\frac {1}{a}}\right)}$

josta

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }xe^{-ax}dx={\frac {1}{a^{2}}}}$

Toistetaan:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2}e^{-ax}dx={\frac {1\times 2}{a^{3}}}}$

Toistetaan:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{3}e^{-ax}dx={\frac {1\times 2\times 3}{a^{4}}}}$

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{n}e^{-ax}dx={\frac {n!}{a^{n+1}}}}$

Sijoitetaan ${\displaystyle a=1\,\!}$ ja saamme

${\displaystyle n!=\int _{0}^{\infty }x^{n}e^{-x}dx}$

josta määrittelemme gammafunktion

${\displaystyle \Gamma \left(p\right)=\int _{0}^{\infty }x^{p-1}e^{-x}dx\qquad p\geq 0}$

n!:n yleistykseksi kompleksiluvuille. Luonnollisille luvuille:

${\displaystyle \Gamma \left(p\right)=\left(p-1\right)!\qquad p=1,2,3,\cdots }$