Gamma-jakauma

Gamma-jakauma on Poisson-prosessin insidenssien odotusaikojen jakauma.

Gamma-jakauman tiheysfunktion kuvaajia eri parametriparein

Gamma-jakauman kertymäfunktion kuvaajia eri parametriparein

Gamma-jakauma on jatkuva, ja sen arvojoukko on positiivisten reaalilukujen joukko. Jos satunnaismuuttuja ${\displaystyle X}$ on gamma-jakautunut, merkitään

${\displaystyle X\sim \operatorname {Gamma} (\nu ,\lambda ).}$

Jakauman parametrit toteuttavat ehdon ${\displaystyle \nu ,\lambda >0}$. Jos ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, niin ${\displaystyle \operatorname {Gamma} (n,\lambda )}$ on ${\displaystyle n}$:nnen insidenssin odotusajan jakauma Poisson-prosessissa, jonka intensiteetti on ${\displaystyle \lambda }$. Tiheysfunktio on arvojoukossa

${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {\lambda ^{\nu }}{\Gamma (\nu )}}x^{\nu -1}e^{-\lambda x},}$

missä ${\displaystyle \Gamma }$ on gammafunktio. Kertymäfunktiota ei voi yleisessä tapauksessa esittää suljetussa muodossa. Odotusarvo ja varianssi ovat

${\displaystyle \operatorname {E} (X)={\frac {\nu }{\lambda }}}$ ja ${\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\frac {\nu }{\lambda ^{2}}}.}$

Yhteydet eksponenttijakaumaan ja χ²-jakaumaan:

${\displaystyle \operatorname {Gamma} (1,\lambda )=\operatorname {Exp} (\lambda ).}$

ja jos ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{+}}$, niin

${\displaystyle \operatorname {Gamma} \left({\frac {n}{2}},{\frac {1}{2}}\right)=\chi _{n}^{2}.}$