Fourier’n sarja

Fourier’n sarja on tapa esittää jaksollinen funktio trigonometristen sini- ja kosinifunktioiden avulla äärettömänä summana eli sarjakehitelmänä. Ranskalainen matemaatikko ja fyysikko Joseph Fourier kehitti sarjat tutkiessaan lämmönjohtumisen teoriaa 1800-luvun alkupuolella.

”Sahafunktion” (sininen käyrä) Fourier’n sarja (punainen käyrä) muodostaa sitä tarkemman approksimaation itse funktiosta, mitä useampi termi otetaan huomioon. Tässä on kuvattu sarjakehitelmän viiden ensimmäisen termin muodostamat osasummat. Itse sarja on täsmälleen identtinen kuvattavan funktion kanssa, jos funktio on riittävän sileä. Kohtiin, jotka eivät täytä sileysvaatimuksia, jää aina Gibbs-ilmiöksi kutsuttua pientä oskillaatiota. Esimerkiksi kuvan funktion epäjatkuvuuskohdat ovat tällaisia pisteitä.

Fourier’n sarja on määritelty Eulerin lausetta hyväksikäyttäen kompleksilukujen eksponenttifunktion avulla:

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }F_{n}\,e^{inx}.}$

Missä F_n on Fourier’n kerroin. Kerroin saadaan vastaavasta funktiosta f(x) integroimalla:

${\displaystyle F_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\,e^{-inx}\,dx.}$

Joskus Fourier’n sarja on annettu suoraan trigonometrisina funktioina. Merkintä on pidempi, mutta se saattaa olla joskus havainnollisempi.

${\displaystyle f(t)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\cos(n\omega t)+\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}\sin(n\omega t),\;\omega ={\frac {2\pi }{T}}}$.[1]

Tässä esiintyvät kertoimet a_n ja b_n saadaan integraaleista:

${\displaystyle a_{n}={\frac {2}{T}}\int _{d}^{d+T}f(t)\cos(n\omega t)dt\;}$ ja

${\displaystyle b_{n}={\frac {2}{T}}\int _{d}^{d+T}f(t)\sin(n\omega t)dt}$[2]

Kertoimia ${\displaystyle a_{n}}$ kutsutaan sarjan parillisiksi ja ${\displaystyle b_{n}}$ parittomiksi kertoimiksi. Nimitys tulee siitä, että parillisilla funktioilla (joilla ${\displaystyle f(-x)=f(x)\,}$) ainoastaan kertoimet ${\displaystyle a_{n}\neq 0}$, kun taas parittomilla funktioilla (joilla vastaavasti ${\displaystyle f(-x)=-f(x)\,}$) vain kertoimet ${\displaystyle b_{n}\neq 0}$. Parilliset ja parittomat funktiot ovat kuvaajiltaan symmetrisiä tai antisymmetrisiä y-akselin suhteen eikä nimityksellä ole suoraa yhteyttä esimerkiksi lukujen parillisuuteen.

Fourier’n sarjoja esiintyy fysiikassa erittäin monenlaisissa yhteyksissä. Niitä käytetään apuna esimerkiksi röntgenkristallografiassa, optiikassa, akustiikassa, kvanttikenttäteoriassa ja signaalinkäsittelyssä. Myös eräiden osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkaisut ovat Fourier’n sarjoja. Fourier’n sarjan kaltaisia sarjoja voidaan rakentaa sinin ja kosinin johdannaisten lisäksi myös muiden ortogonaalisten funktiojoukkojen avulla.