Eulerin tiili

Eulerin tiilen sivujen pituudet saadaan ratkaisemalla seuraavat Diofantoksen yhtälöt:

${\displaystyle {\begin{cases}a^{2}+b^{2}=d^{2}\\b^{2}+c^{2}=e^{2}\\a^{2}+c^{2}=f^{2}\end{cases}}}$

Jos a, b ja c ovat Eulerin tiilen sivun pituudet, niin myös kolmikko (bc, ac, ab) muodostaa Eulerin tiilen.

Pienimmässä Eulerin tiilessä, jonka löysi Paul Halcke vuonna 1719, on sivujen pituudet ${\displaystyle (a,b,c)=(240,117,44)}$ ja tahkojen lävistäjät 267, 244 ja 125.

Muut ratkaisut ${\displaystyle (a,b,c)}$, joiden pisin sivu on alle 1000:

• ${\displaystyle (275,252,240)}$
• ${\displaystyle (693,480,140)}$
• ${\displaystyle (720,132,85)}$
• ${\displaystyle (792,231,160)}$

Täydellinen suorakulmainen särmiö on Eulerin tiili, jossa myös särmiön avaruuslävistäjän pituus on positiivinen kokonaisluku. Toisin sanoen yllä esitettyyn Diofantoksen yhtälöön lisätään yhtälö

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=g^{2}.\,}$

Tiettävästi kukaan ei ole ratkaissut tätä yhtälöä. Ei tiedetä, onko täydellistä suorakulmaista särmiötä olemassa.

Eulerin tiiltä sanotaan alkeelliseksi, jos sivujen pituudet ovat keskenään jaottomia lukuja eli niiden suurin yhteinen tekijä on 1. Pienin löydetty Eulerin tiili, ${\displaystyle (a,b,c)=(240,117,44)}$, on alkeellinen sillä sen sivujen pituudet ovat keskenään jaottomia.

• http://mathworld.wolfram.com/EulerBrick.html
• http://mathworld.wolfram.com/PerfectCuboid.html
• http://www.math.harvard.edu/~knill/various/eulercuboid/lecture.pdf