Neperin luku

Neperin luvulla on suuri merkitys eksponenttifunktion ${\displaystyle e^{x}}$ kantalukuna. Tällä funktiolla on se ominaisuus, että funktion derivaatta on sama kuin funktio itse.

Kun eksponenttifunktion ${\displaystyle c^{x}}$ kantalukuna on positiivinen luku ${\displaystyle c}$, niin tällaisen funktion derivaatta on funktio itse kerrottuna vakiotekijällä. Jos tämä kantaluku ${\displaystyle c}$ on Neperin luku, niin kyseisen vakiotekijän arvo on ${\displaystyle 1}$. Tämä voidaan osoittaa seuraavasti:

Olkoot ${\displaystyle f(x)=c^{x},\ c\in \mathbb {R} }$. Derivaatan määritelmän mukaan

${\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {c^{x+h}-c^{x}}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {c^{x}(c^{h}-1)}{h}}\\&=c^{x}\lim _{h\to 0}{\frac {c^{h}-1}{h}}.\end{aligned}}}$

Näin huomataan, että kaikilla kantaluvun ${\displaystyle c}$ arvoilla funktion ${\displaystyle c^{x}}$ derivaatta on funktio itse kerrottuna lausekkeella

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {c^{h}-1}{h}}}$.

Oletetaan sitten, että jollakin kantaluvun ${\displaystyle c}$ arvolla ${\displaystyle e}$ tämä raja-arvo on 1 eli

${\displaystyle 1=\lim _{n\to 0+}{\frac {e^{n}-1}{n}}.}$

Koska osamäärän raja-arvo = osoittajan raja-arvo jaettuna nimittäjän raja-arvolla, niin nimittäjän raja-arvolla kertomalla saadaan

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{n\to 0+}n&=\lim _{n\to 0+}e^{n}-1\\\lim _{n\to 0+}e^{n}&=\lim _{n\to 0+}(1+n)\\e&=\lim _{n\to 0+}\left(1+n\right)^{\frac {1}{n}}\\e&=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.\end{aligned}}}$

Siis luku ${\displaystyle e}$ on sama kuin Neperin luku.

Funktion ${\displaystyle f(x)=1/x}$ ja x -akselin rajoittama pinta-ala on tasan yksi välillä ${\displaystyle [1,e]}$.

Neperin luvulle tunnetaan seuraava sarjakehitelmä:

${\displaystyle e=\displaystyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {1}{n!}}=1+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}+\cdots }$

Koska kertoma ${\displaystyle {n!}}$ kasvaa luvun n kasvaessa todella nopeasti, voidaan tämän sarjan avulla melko nopeasti laskea hyviä Neperin luvun likiarvoja.

Luku ${\displaystyle e}$ voidaan esittää seuraavanlaisena äärettömänä tulona, joka tunnetaan Pippengerin tulona:

${\displaystyle e=2\left({\frac {2}{1}}\right)^{\frac {1}{2}}\left({\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\right)^{\frac {1}{4}}\left({\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\right)^{\frac {1}{8}}\cdots }$

${\displaystyle e}$ saadaan määrättynä integraalina funktiosta ${\displaystyle f(x)=x^{-1}}$:

${\displaystyle \int _{1}^{e}{\frac {1}{x}}\ dx=1}$

Kuvitellaan, että pankki maksaa vuodessa 100 % koron. Jos pankkitilin alkusaldo on 1 €, niin vuoden kuluttua saldo on 1 €·2,0 = 2 €. Jos pankki maksaisikin 50 % koron kaksi kertaa vuodessa ja jälkimmäisellä kerralla korkoa korolle, olisi loppusaldo 1 €·1,5² = 2,25 € ja jos taas 33,3… % koron 3 kertaa vuodessa: 1 €·(1,333…)³ ≈ 2,370 €. Kun pankki maksaa 1/n-kertaisen koron n kertaa vuodessa, on loppusaldo 1 €·(1+1/n)ⁿ. Kun 1/n lähestyy nollaa eli maksukertojen määrä lähestyy ääretöntä, niin lähestyy termi (1+1/n)ⁿ e:tä. Samaan tapaan jos alkuperäinen korkoprosentti olisi x % ja maksukertojen lukumäärää vastaavalla tavalla tihennettäisiin, saataisiin raja-arvona loppusaldoksi e^x/100 €.

Myös luonnossa esiintyy kasvuilmiöitä, jotka noudattavat samantapaista matemaattista lakia. Tällaista sanotaan eksponentiaaliseksi kasvuksi. Likimääräisenä esimerkkinä tällaisesta voidaan mainita puun kasvu.[1]

• Luonnollinen logaritmi
• Eksponenttifunktio

• Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi II – Reaalimuuttujan funktioiden differentiaalilasku. Helsinki: Otakustantamo, 1969. ISBN 951-671-022-0.
• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.

• Mathworld: e