Elliptinen käyrä

Vaikka elliptisen käyrän määritelmä on varsin tekninen ja vaatii esitiedoiksi algebrallista geometriaa, voidaan joitakin reaalilukujen kunnassa määriteltyjen elliptisten käyrien perusominaisuuksia kuvata lukiossa opetettavan algebran ja geometrian keinoin

Tässä kontekstissa siis kunnaksi K otetaan reaaliluvut yhteen- ja kertolaskulla varustettuna. Siis käyrät ovat muotoa

y² = x³ + a x + b,

missä a ja b ovat reaalilukuja. Näitä käyriä kutsutaan nimellä Weierstrassin yhtälö.

Esimerkiksi seuraavat kuvat havainnollistavat elliptisiä käyriä, joiden yhtälöt ovat y² = x³ − x ja y² = x³ − x + 1.

Elliptisen käyrän määritelmän perusteella käyrän tulee olla epäsingulaarinen. Geometrisesti tämä tarkoittaa sitä, että käyrällä ei ole teräviä kohtia, kuten esimerkiksi käyrällä y = x^2/3 on origossa. Algebrallisesti tämä tarkoittaa sitä, että diskriminantti

Δ = −16(4a³ + 27b²).

on nollasta poikkeava. Vaikka kerroin −16 näyttää tässä turhalta, se on kuitenkin kätevä, kun elliptisten käyrien opiskelua jatkaa pidemmälle.

Jos käyrä on ei-singulaarinen, on sen kuvaajalla kaksi komponenttia jos diskriminantti on positiivinen, ja yksi komponentti jos diskriminantti on negatiivinen. Esimerkiksi yllä olevissa kuvissa ensimmäisen käyrän diskriminantti on 64 ja jälkimmäisen −368.

Lisäämällä käyrälle "äärettömyyspiste" saamme projektiivisen version käyrästä. Jos P ja Q ovat kaksi käyrän pistettä, löydämme yksikäsitteisesti määrätyn kolmannen pisteen käyrältä käyrän ja pisteiden P ja Q kautta kulkevan suoran leikkauspisteestä. Jos suora on tässä pisteessä käyrän tangentti, se tulee laskea mukaan kahteen kertaan. Ja jos taas suora on y-akselin suuntainen, määrittelemme pisteen olevan äärettömyydessä. Täsmälleen yksi näistä ehdoista on voimassa, kunhan elliptinen käyrä ja kaksi sen pistettä on kiinnitetty.

Nyt on mahdollista esittää käyrälle laskutoimitus "+", jolla on seuraavat ominaisuudet: Olkoon äärettömyyspiste 0, ryhmän neutraalialkio. Jos suora leikkaa käyrän pisteissä P, Q ja R, vaadimme, että P + Q + R = 0. Tästä seuraa, että ryhmä on Abelin ryhmä, ja siten Abelin varisto. Voidaan osoittaa, että K-rationaalipisteiden joukko (mukaan luettuna äärettömyyspiste) muodostaa tämän ryhmän aliryhmän. Tätä aliryhmää merkitään usein E(K).

Yllä olevaa ryhmää voidaan tarkastella sekä algebralliselta, että geometriselta kannalta. Olkoon annettu kunta K (jonka karakteristika ei ole 2 eikä 3), käyrä y² = x³ − px − q ja käyrän pisteet P = (x_P, y_P) sekä Q = (x_Q, y_Q). Oletetaan ensiksi, että x_P ≠ x_Q. Olkoon s = (y_P − y_Q)/(x_P − x_Q). Koska K on kunta, s on hyvin määritelty. Tällöin voidaan määritellä R = P + Q = (x_R, y_R) asettamalla

${\displaystyle x_{R}=s^{2}-x_{P}-x_{Q}\,}$

${\displaystyle y_{R}=-y_{P}+s(x_{P}-x_{R})\,}$

Jos x_P = x_Q, on tällöin kaksi mahdollista vaihtoehtoa: jos y_P = −y_Q, on summa määritelty 0:ksi. Tällöin jokaisen pisteen inversio käyrällä löydetään peilaamalla piste x-akselin suhteen. Jos y_P = y_Q ≠ 0, on R = P + P = 2P = (x_R, y_R), joka saadaan yhtälöistä

${\displaystyle s={(3{x_{P}}^{2}-p)}/{(2y_{P})}\,}$

${\displaystyle x_{R}=s^{2}-2x_{P}\,}$

${\displaystyle y_{R}=-y_{P}+s(x_{P}-x_{R})\,}$

Jos y_P = y_Q = 0, on P + P = 0.

Elliptisen käyrän esitys toruksen upotuksena projektiiviseen kompleksitasoon seuraa Weierstrassin elliptisen funktion ominaisuuksista. Nämä funktiot ja niiden ensimmäinen derivaatta ovat yhteydessä kaavan

${\displaystyle \wp '(z)^{2}=4\wp (z)^{3}-g_{2}\wp (z)-g_{3}}$

kautta. Tässä ${\displaystyle g_{2}}$ ja ${\displaystyle g_{3}}$ ovat vakioita, ${\displaystyle \wp (z)}$ on Weierstrassin elliptinen funktio ja ${\displaystyle \wp '(z)}$ sen derivaatta. Lausekkeesta nähdään, että tämä muoto on myös elliptinen funktio kompleksilukujen kunnassa. Weierstrassin funktiot ovat kaksoisjaksollisia. Tämä tarkoittaa sitä, että ne ovat jaksollisia lattiisin Λ suhteen. Siten Weierstrassin funktiot ovat luonnollisesti määritelty toruksen ${\displaystyle T=\mathbb {C} /\Lambda }$ pinnalla. Tämä torus voidaan upottaa kompleksiseen projektiiviseen avaruuteen kuvauksella:

${\displaystyle z\to (1,\wp (z),\wp '(z))}$.

Tämä kuvaus on ryhmäisomorfismi, joka vie toruksen luonnollisen ryhmärakenteen projektiiviseen avaruuteen. Se on myös Riemannin pintojen välinen isomorfisti, joten topologisessa mielessä elliptiset käyrät näyttävät toruksilta. Jos lattiisia Λ vastaa isomorfismissa lattiisi cΛ, missä c on kompleksiluku ja laskutoimitus normaali kompeksilukujen kertolasku, on vastaavat käyrät isomorfisia. Näitä isomorfismiluokkia kutsutaan j-invarianteiksi.

Isomorfismiluokat voidaan ymmärtää myös helpommalla tavalla. Vakiot ${\displaystyle g_{2}}$ ja ${\displaystyle g_{3}}$, joita kutsutaan modulaarisiksi invarianteiksi, ovat yksikäsitteisesti määrätyt annetussa lattiisissa, eli toruksen algebrallisessa rakenteessa. Kompleksiluvut ovat kuitenkin polynomien juurikunta, joten elliptinen käyrä voidaan kirjoittaa muodossa

${\displaystyle y^{2}=x(x-1)(x-\lambda )\,}$.

Huomataan, että

${\displaystyle g_{2}={\frac {4^{1/3}}{3}}(\lambda ^{2}-\lambda +1)}$

ja

${\displaystyle g_{3}={\frac {1}{27}}(\lambda +1)(2\lambda ^{2}-5\lambda +2)}$

joten modulaarinen diskriminantti on

${\displaystyle \Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}=\lambda ^{2}(\lambda -1)^{2}\,}$

Tässä λ:a kutsutaan toisinaan modulaariseksi lambdafunktioksi.

Huomaa, että yhtenäisyyslause takaa sen, että jokainen genusta 1 oleva kompakti Riemannin pinta voidaan esittää toruksena.

Elliptiset käyrät voidaan määritellä missä tahansa kunnassa K. Elliptisen käyrän formaali määritelmä on, että elliptinen käyrä on epäsingulaarinen projektiivinen algebrallinen käyrä K:ssa, jonka genus on 1.

Qing Liu esittää kirjassaan[1] elliptisen käyrän määritelmä seuraavasti:

Olkoon ${\displaystyle k}$ kunta. Tällöin elliptinen käyrä k:n suhteen on sileä projektiivinen käyrä ${\displaystyle E}$ yli ${\displaystyle k}$:n, joka on isomorfinen ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{2}}$:n suljetun alivariston kanssa, jonka määrittelee homogeeninen polynomi ${\displaystyle F(u,v,w)}$ muotoa

${\displaystyle F(u,v,w)=v^{2}w+(a_{1}u+a_{3}w)vw-(u^{3}+a_{2}u^{2}w+a_{4}uw^{2}+a_{6}w^{3})}$

yhdessä luottamuksellisen rationaalisen pisteen ${\displaystyle o=(0,1,0)}$ kanssa.

Vaikka lähteessä ei ole mainittu, on tässä ${\displaystyle a_{i}\in k}$ kun ${\displaystyle i\in \{1,2,3,4,6\}}$.

Jos K:n karakteristika ei ole 2 eikä 3, voidaan jokainen elliptinen käyrä kirjoittaa muodossa

${\displaystyle y^{2}=x^{3}-px-q\,}$,

missä p ja q ovat K:n alkioita siten, että oikean puolen polynomilla x³ − px − q ei ole yhtään kaksoisjuurta. Jos K:n karakteristika on 2 tai 3, tarvitaan useampia termejä käyrää esittävään yhtälöön.

Yleensä elliptisten käyrien pisteet (x,y), jotka toteuttavat yllä olevan yhtälön ja jossa x ja y kuuluvat K:n algebralliseen sulkeumaan, ovat kiinnostavia. Näitä pisteitä kutsutaan käyrän K-rationaalisiksi pisteiksi.

Mordellin-Weilin lauseen mukaan rationaalilukujen kunnassa (tai yleisemmin lukukunnassa) määritellyn elliptisen käyrän K-rationaalipisteiden muodostama ryhmä on äärellisesti viritetty Abelin ryhmä. Tämä tarkoittaa, että ryhmä voidaan esittää suorana summana vapaasta Abelin ryhmästä ja äärellisestä torsioaliryhmästä. Vaikka on suhteellisen helppoa määrittää E(K);n torsioaliryhmä, vielä ei tiedetä yleistä algoritmia jolla laskea vapaan aliryhmän aste. Birchin ja Swinnerton-Dyerin konjektuuri antaa kuitenkin kaavan jolla aste voidaan laskea, mutta otaksumaa ei ole toistaiseksi kyetty osoittamaan todeksi.

Andrew Wilesin Fermat'n suuren lauseen todistus perustui erikoistapaukseen Taniyaman–Shimuran lauseesta, joka antaa syvällisen yhteyden elliptisten käyrien ja modulimuotojen välille. Taniyaman–Shimuran lause saatiin kokonaisuudessaan todistettua vuonna 1999.

Vaikka äärellisen kunnan F_p elliptisen käyrän E rationaalipisteiden tarkka lukumäärä on vaikea selvittää, Hassen lauseen mukaan elliptisille käyrille pätee :${\displaystyle \left|\sharp E(\mathbb {F} )-p-1\right|<2{\sqrt {p}}}$.

Tämä fakta voidaan todistaa yleisemmän teorian avulla. Tähän tarvitaan paikallisten zeetafunktioiden teoriaa ja Étalen kohomologiaa. Annetun käyrän rationaalipisteiden lukumäärä voidaan laskea Schoofin algoritmin avulla.

Tämäntyyppisten ongelmien nykyinen tutkimus hyödyntää Abelin varistojen teoriaa.

Kryptografiassa ja kokonaislukujen tekijöihinjaossa hyödynnetään elliptisiä käyriä, jotka on määritelty äärellisissä kunnissa. Tyypillisesti äärellisessä kunnassa oleviin elliptisiin käyriin perustuvien ohjelmien idea on siinä, että niissä on algoritmit, jotka muuttavat tiettyjä äärellisiä ryhmiä elliptisten käyrien rationaalipisteiden muodostamaksi ryhmiksi. Esimerkkejä tämäntyyppisistä algoritmeista on muun muassa:

• Elliptisten käyrien salausmenetelmät
• Elliptisten käyrien DSA
• Lenstran tekijöihinjakomenetelmä

• The Mathematical Atlas: 14H52 Elliptic Curves (Arkistoitu – Internet Archive)
• Wolfram Mathworld: Elliptic Curves
• James Milnen elliptisiä käyriä koskevan kurssin luentomuistiinpanot. (Arkistoitu – Internet Archive)