Ekvivalenssirelaatio

Joukon ${\displaystyle M}$ alkioiden välillä määritelty relaatio ${\displaystyle \operatorname {R} }$ on ekvivalenssirelaatio, jos se toteuttaa seuraavat kolme ehtoa:

1. ${\displaystyle a\operatorname {R} a}$.
2. Jos ${\displaystyle a\operatorname {R} b}$, niin myös ${\displaystyle b\operatorname {R} a}$.
3. Jos ${\displaystyle a\operatorname {R} b}$ ja ${\displaystyle b\operatorname {R} c}$, niin ${\displaystyle a\operatorname {R} c}$.[1]

Ensimmäistä ominaisuutta sanotaan refleksiivisyydeksi, toista symmetrisyydeksi ja kolmatta transitiivisuudeksi. Jokin yksittäinen määritelty relaatio eli suhde joukon alkioiden välillä on ekvivalenssi, jos se on refleksiivinen, symmetrinen ja transitiivinen.

Esimerkiksi yhtäsuuruus reaalilukujen joukossa on selvästikin ekvivalenssirelaatio, koska se toteuttaa varmasti kaikki kolme ekvivalenttisuuden ehtoa.

Toinen esimerkki: Määritellään relaatio I reaalilukujen välillä siten että aIb jos a-b on kokonaisluku. I on refleksiivinen, koska a-a = 0 on kokonaisluku. Jos aIb eli a-b on kokonaisluku, niin myös b-a on kokonaisluku eli bIa, joten I on symmetrinen. Myös jos aIb ja bIc, niin a-b ja b-c ovat kokonaislukuja eli myös a-c on kokonaisluku. Tällöin aIc ja I on transitiivinen. Kaikki kolme ehtoa ovat I:lle voimassa, joten I on ekvivalenssirelaatio.

Kolmas esimerkki: Oppilaat a, b ja c kuuluvat samalle koululuokalle (relaatio ${\displaystyle R}$ on täten "kuuluu samalle luokalle"). Tällöin kukin oppilas on itsensä kanssa samalla luokalla (refleksiivisyys), jos henkilö a on b:n kanssa samalla luokalla, myös b on a:n kanssa samalla luokalla (symmetrisyys) ja kolmanneksi, jos a on b:n kanssa samalla luokalla, ja b c:n kanssa, pätee transitiivinen riippuvuus, eli myös a on c:n kanssa samalla luokalla.

Edellä kuvattu relaatio I tavallaan samaistaa kaikki keskenään ekvivalentit reaaliluvut joiden voidaan katsoa muodostavan yhden ekvivalenssi­luokan. Esimerkiksi lukua 5/7 vastaavat ekvivalentit eli samaan ekvivalenssiluokkaan kuuluvat luvut ovat (5/7)+n, missä n on kokonaisluku.

Ekvivalenssiluokat voidaan ajatella esitetyiksi myös yksittäisten edustajiensa välityksellä. Esimerkiksi mainitussa ekvivalenssissa I voidaan valita luvut vaikka puoliavoimelta väliltä [0,1) edustamaan kaikkia relaation ekvivalenssiluokkia. Kuten huomataan, kaikki muut reaaliluvut ovat pakosta ekvivalentteja jonkin näistä luvuista kanssa.

Joukossa X määriteltyä ekvivalenssirelaatiota vastaa jokin joukon X ositus, ja toisaalta jos joukossa X on annettu ositus, voidaan osituksen avulla määrittää X:ään ekvivalenssirelaatio. Tästä lauseesta käytetään toisinaan nimitystä ekvivalenssirelaatioiden peruslause.