Eksponentiaalinen kasvu

Eksponentiaalinen kasvu tarkoittaa matematiikassa jonkin suureen tai funktion kasvua, joka on suoraan verrannollinen funktion kulloiseenkin arvoon, eli mitä suurempi se on, sitä nopeammin se kasvaa. Tätä kuvataan eksponenttifunktiolla. Arkipuheessa eksponentiaalista kasvua saatetaan käyttää kuvaamaan yleisesti mitä tahansa hyvin nopeaa kasvua, mutta määritelmän mukaan eksponentiaalinen kasvu voi olla myös hidasta ja hyvin nopea kasvu voi olla muutakin kuin eksponentiaalista.

Kuvaaja havainnollistaa sitä, kuinka eksponentiaalinen kasvu (vihreä) ohittaa lopulta sekä lineaarisen (punainen) että kuutiollisen kasvun (sininen).

Suhteellisesti ilmaistuna eksponentiaalinen kasvu on vakaata, ja se voidaan ilmaista esimerkiksi prosenttiluvulla. Absoluuttisesti eksponentiaalinen kasvu on aluksi hyvin hidasta, mutta kiihtyy ajan myötä. Tästä esimerkki on ihmiskunnan väestönkasvu[1]. Myös ydinketjureaktio käynnistyy eksponentiaalisesti kriittisen massan ylittyessä, samoin sairastuneiden lukumäärä epidemiassa, jos sen perusuusiutumisluku on suurempi kuin yksi. Näissä kaikissa kiihtyminen johtuu eksponentiaalisen kasvun kertautumiseen perustuvasta luonteesta, eli vaikka kasvun prosentuaalinen tahti olisi vakio, määrällinen kasvu on kiihtyvä. Tämä määrällinen kasvun kiihtyminen voidaan ilmaista myös kulloisenakin ajankohtana olemassa olevan määrän tuplaantumiseen vaaditun ajan jatkuvana lyhenemisenä. Kuvaajana tällaista kasvua ilmaiseva käyrä muodostuu ns. 'jääkiekkomailaksi', jota on käytetty muun muassa uutisoinnissa ilmaston lämpenemisestä.[2][3] On huomattava, että tämä kuvaajan muoto syntyy vasta, kun määrälle asetetaan jokin kiinteä katto. Tämä on perusteltava jollakin, sillä muuten kyseessä voi olla tilastollinen vääristely.[4][5][6]

Reaalimaailmassa eksponentiaalista kasvua rajoittaa aina jossain vaiheessa jokin tekijä kuten resurssit, tila, saturaatio. Vaikka suureen kasvu alkaa eksponentiaalisena se voi tasoittua ja kasvun kertymäfunktio on lopulta S-käyrän muotoinen, esimerkiksi ns. logistinen funktio.

Havainnollistavia esimerkkejä eksponentiaalisen kasvun hahmottamisen vaikeudesta on pyritty antamaan. Useat tiedotusvälineet, ovat raportoineet siitä, kuinka paperi pystyy teoriassa ylittämään havaittavan maailmankaikkeuden rajan, jos sen paksuus on 0,1 millimetriä, ja se taitetaan 103 kertaa.[7] Yksi tunnetuimmista esimerkeistä ekspotentiaalisen kasvun nopeudesta on myös kertomus shakin keksijästä. Tarinan mukaan shakin kehittänyt henkilö olisi pyytänyt intialaiselta ruhtinaalta palkkioksi uudesta pelistä yhtä monta riisinjyvää kuin shakkilaudalta on mahdollista saada, kun niitä asetetaan ensimmäiselle ruudulle yksi, toiselle kaksi, kolmannelle neljä ja niin edelleen. Koska shakkilaudassa on 64 ruutua, muodostui riisinjyvien kokonaisluvuksi 18 446 744 073 709 551 615.[8]