Duaalikappale

Monitahokkaan duaalisuus määritellään usein polaarisen käänteisyyden avulla jonkin sopivasti valitun pallopinnan suhteen. Silloin jokaista kärkeä (napaa) vastaa sellainen sivutahko, että säde keskipisteestä kärkeen on kohtisuorassa tätä tahkoa vastaan ja että keskipisteestä tahkoihin mitattujen etäisyyksien tulo on sama kuin säteen neliö.[2][3] Koordinaateilla ilmoitettuna pisteessä

${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$

sijaitsevan särmän duaalinen taso pallon

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2},}$

suhteen on taso

${\displaystyle x_{0}x+y_{0}y+z_{0}z=r^{2}}$.

Duaalikappaleen kärjet ovat vastapäätä alkuperäisen kappaleen tahkoja, ja sen tahkot ovat vastapäätä alkuperäisen kappaleen kärkiä. Lisäksi alkuperäisen kappaleen mitkä tahansa kaksi vierekkäistä kärkeä määrittelevät särmän, ja duaalikappaleessa kutakin särmää vastaa näitä kärkiä vastaavien tahkojen välinen särmä. Alkuperäisen kappaleen ja duaalikappaleen toisiaan vastaavat särmät ovat aina kohtisuorassa toisiaan vastaan.

Jos ${\displaystyle r_{0}}$ on edellä kuvatun pallon säde ja ${\displaystyle r_{1}}$ ja ${\displaystyle r_{2}}$ sen keskipisteen etäisyydet jostakin alkuperäisen kappaleen kärjestä ja duaalikappaleen tahkon keskipisteestä, on

${\displaystyle r_{1}.r_{2}=r_{0}^{2}}$

Symmetrisimmillä monitahokkailla on selvä keskipiste, ja tällöin pallo valitaan tavallisesti niin, että sen keskipiste on sama kuin monitahokkaan keskipiste. Näin tehdään esimerkiksi jäljempänä kuvautussa Dorman Luken konstruktiossa.

Monitahokkaalle voidaan kuitenkin muodostaa polaarisesti käänteinen duaalikappale minkä tahansa pallon suhteen, ja saadun duaalikappaleen muoto riippuu pallon sijainnista ja koosta. Kaikki duaalikappaleet, jotka muodostetaan sellaisten pallojen suhteen, joilla on yhteinen keskipiste, ovat kuitenkin keskenään yhdenmuotoiset. Jos kappaleella on useita symmetria-akseleita, ne leikkaavat toisensa aina samassa pisteessä, joka yleensä valitaan myös pallon keskipisteeksi. Ellei symmetria-akseleita ole tai niitä on vain yksi, valitaan tavallisimmin kappaleen ympäri tai sisään piirretty pallo taikka pallon, jonka tangentteja kaikki kappaleen särmät ovat.

Jos Euklidisessa avaruudessa jokin kappaleen särmistä tai tahkoista kulkee valitun pallon keskipisteen kautta tai keskipisteenä on jokin sen kärjistä, sitä duaalikappaleessa vastaava tahko tai särmä ulottuu äärettömän kauas tai tahkoa vastaava kärki on äärettömän kaukana. Euklidiseen avaruuteen ei kuulu äärettömän kaukaisia pisteitä, mutta sen projektiivinen vastine, jota sanotaan laajennetuksi euklidiseksi avaruudeksi, voidaan muodostaa lisäämällä siihen tarvittava äärettömän kaukainen taso. Jotkut teoreetikot pitäytyvät mieluummin euklidisessa avaruudessa ja päättelevät, että tällaisissa tapauksissa duaalikappaletta ei ole olemassa. Magnus Wenninger on kuitenkin keksinyt tavan, joilla voidaan tehdä malli tällaisten äärettömien duaalikappaleiden joistakin äärellisistä osista.[4]

Tällä duaalisuuden käsitteellä on läheinen yhteys projektiivisessa geometriassa esiintyvään duaalisuuden käsitteeseen, jossa tasot ja pisteet voidaan vaihtaa keskenään. Projektiivinen polaarisuus toimii riittävän hyvin kuperilla monitahokkailla. Mutta jos myös ei-kuperien kappaleiden, esimerkiksi tähtimonitahokkaiden duaalisuus yritetään täsmällisesti määritellä projektiivisen polaarisuuden avulla, ilmenee monia ongelmia.[5][6] Wenninger on myös tutkinut tapoja, joilla nämä äärettömät duaalikappaleet voidaan muodostaa. Ei-kuperien monitahokkaiden geometriseen duaalisuuteen liittyvien määritelmällisten kysymysten vuoksi Branko Grünbaum on esittänyt, että jokaiseen ei-kuperan monitahokkaan asianmukaiseen määritelmään pitäisi kuulua myös selvitys siitä, miten sen duaalikappale muodostetaan.[7]

Kuboktaedri (vaalea) ja rombidodekaedri (tumma) ovat toistensa kanonisia duaaleja. Kuvassa niiden yhdistelmä. Kappaleiden toisiaan vastaavat särmät leikkaavat toisensa niiden yhteisellä intersfäärillä.

Jokaista kuperaa monitahokasta vastaa kanoninen muoto, jolla on midsfääri eli intersfääri, toisin sanoen pallo, jonka tangentteja tämän kanonisen muodon kaikki särmät ovat. Tämä kanoninen muoto on sikäli yksikäsitteinen, että kaikki samaa monitahokasta vastaavat kanoniset muodot kappaleina ovat yhtenevät.

Jos tälle kanoniselle monitahokkaalle muodostetaan polaarisesti käänteinen duaalikappale, sen särmät ovat saman pallon tangentteja ja sivuavat sitä samoissa pisteissä, joten se on myös kanoninen. Sitä sanotaan kanoniseksi duaaliksi, ja nämä kaksi kappaletta yhdessä muodostavat kanonisen duaaliparin.[8]

Siinäkin tapauksessa, että monitahokkaista ei voida muodostaa toistaan edellä kuvatulla polaarisella käänteisyydellä, niitä voidaan sanoa toistensa duaali­kappaleiksi, mikäli toisen särmät vastaavat toisen tahkoja ja kummankin särmät toisiaan siten, että samassa kärjessä kohtaavia särmiä vastaavat duaalikappaleessa samaa tahkoa rajoittavat särmät ja päinvastoin. Tällaisia moni­tahokas­pareja sanotaan toistensa topologisiksi eli abstrakteiksi duaaleiksi.

Kuperan monitahokkaan kärjet ja särmät muodostavat graafin, joka voidaan upottaa topologiselle pallopinnalle, joka on homeomorfinen monitahokkaan pinnan kanssa.

Sama graafi voidaan projisoida tasolle niin, että siitä muodostuu Schlegelin diagrammi. Monitahokkaan duaalikappaleesta samalla tavalla muodostettu graafi on tämän graafin duaaligraafi. Yleensäkin jokaisella monitahokkaalla, jonka tahkot muodostavat suljetun pinnan, sen kärjet ja räsmät muodostavat graafin, joka voidaan upottaa tälle pinnalle, ja tämän monitahokkaan abstraktin duaalikappaleen kärjet ja särmät muodostavat sen duaaligraafin.

Abstrakti monitahokas on eräänlainen osittain järjestetty joukko, jonka alkiot vastaavat monitahokkaan kärkiä, särmiä ja tahkoja ja jonka alkioiden väliset yhteydet vastaavat monitahokkaan tahkojen tai särmien välisiä yhteyksiä. Jokaisella tällaisella osittain järjestetyllä joukolla on duaalijoukko, joka myös on osittain järjestetty ja joka saadaan kääntämällä kaikki järjestysrelaatiot. Jos tämä joukko visualisoidaan Hassen diagrammilla, sen duaalijoukko voidaan visualisoida yksinkertaisesti kääntämällä Hassen diagrammi ylösalaisin.

Jokainen geometrinen monitahokas vastaa tällä tavoin jotakin abstraktia monitahokasta, ja sillä on abstrakti duaalimonitahokas. Joidenkin ei-kuperien geometristen monitahokkaiden tapauksessa tätä duaalimonitahokasta ei kuitenkaan voida toteuttaa geometrisesti.

Mistä tahansa monitahokkaasta ja sen duaalikappaleesta yhdistämällä saatu kappale on selvästi itseduaalinen.

Jos monitahokas on itseduaalinen, sen ja sen duaalikappaleen yhdistelmä koostuu kahdesta yhtenevästä monitahokkaasta. Tällaisesta ainoa säännöllinen kappale on kahden tetraedrin yhdistelmä, joka tunnetaan nimellä Stella octangula.

Neliölaatoitus, {4,4}, on itseduaalinen, minkä osoittavat punaiset ja siniset ruudukot

Äärettömän kertaluvun apeirogonaalinen laatoitus {∞,∞} punaisella ja sen duaalimuoto sinisellä

Ensisijaisen luokan itseduaalisia polytooppeja muodostavat säännölliset polytoopit, joilla on palindrominen Schläflin symboli. Kaikki säännölliset monikulmiot, {a}, ovat itseduaalisia, samoin muotoa {a,a} olevat monitahokkaat, muotoa {a,b,a} olevat 4-polytoopit, muotoa {a,b,b,a} olevat 4-polytoopit ja niin edelleen.

Itseduaaliset säännölliset polytoopit ovat:

• Kahdessa ulottuvuudessa kaikki säännölliset monikulmiot, {a}
• Kolmessa ulottuvuudessa säännöllinen tetraedri: {3,3}
• Yleisesti kaikki säännölliset n-simpleksit, {3,3,...,3}
• Neljässä ulottuvuudessa:
  • säännöllinen 24-solu neljässä ulottuvuudessa
  • suuri 120-solu {5,5/2,5} ja suuri stellatoitu 120-solu {5/2,5,5/2}

Itseduaalisia äärettömiä säännöllisiä euklidisia tessellaatioita ovat:

• Apeirogoni: {∞}
• Neliölaatoitus: {4,4}
• Kuutiollinen tessellaatio: {4,3,4}
• Yleisesti kaikki säännölliset n-ulotteiset euklidiset hyperkuutiolliset tessellaatiot: {4,3,...,3,4}.

Itseduaalisia äärettömiä säännöllisiä hyperbolisia tessellaatioita ovat:

• Kompkatit hyperboliset laatoitukset: {5,5}, {6,6}, ... {p,p}.
• Parakompakti hyperbolinen laatoitus: {∞,∞}
• Kompaktit hyperboliset tessellaatiot: {3,5,3}, {5,3,5} ja {5,3,3,5}
• Parakompaktit hyperboliset tessellaatiot: {3,6,3}, {6,3,6}, {4,4,4} ja {3,3,4,3,3}