Divergenssi

Divergenssi (lähteisyys; engl. divergence) on matematiikassa vektorilaskentaan liittyvä differentiaalioperaattori, joka kuvaa vektorikentän lähteisyyttä. Divergenssi on skalaari, jonka voidaan katsoa kuvaavan pisteestä lähtevän tai siihen päättyvän vektorivuon tiheyttä. Suuri positiivinen divergenssi merkitsee, että piste toimii vektorikentän lähteenä, suuri negatiivinen divergenssi tarkoittaa, että piste toimii vektorikentän nieluna. Kolmiulotteisen vektorifunktion ${\displaystyle \mathbf {F} =F_{1}{\vec {i}}+F_{2}{\vec {j}}+F_{3}{\vec {k}}}$ divergenssi määritellään

${\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {F} )={\frac {\partial F_{1}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{2}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{3}}{\partial z}}}$. [1]

Määritelmästä nähdään, että divergenssi voidaan muodollisesti kirjoittaa vektorikentän ja nablaoperaattorin pistetulona, eli

${\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {F} )\equiv \nabla \cdot \mathbf {F} }$

Tätä pistetulomerkintää käytetäänkin yleisesti divergenssin symbolina. Gradientin komponenteilla eli osittaisderivaattaoperaattoreilla kertominen vastaa siis derivointia kyseessä olevan muuttujan suhteen. Vektorikentän divergenssi on skalaarikenttä, joka voidaan määritellä myös mielivaltaisen moniulotteiselle vektorikentälle ${\displaystyle \mathbf {F} =(F_{1},F_{2},\ldots ,F_{n})}$ laskukaavalla

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {\partial F_{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial F_{2}}{\partial x_{2}}}+\ldots +{\frac {\partial F_{n}}{\partial x_{n}}}}$ [1].

Divergenssi on huomattavan keskeinen suure fysiikassa: tämän huomaa esimerkiksi Maxwellin yhtälöiden differentiaalimuodoista. Lisäksi pinta- ja tilavuusintegraali kytkeytyvät toisiinsa varsin yksinkertaisella tavalla divergenssin kautta (Gaussin divergenssilause).