Diskreetti tasainen jakauma

Periaatteessa satunnaismuuttuja voisi tuottaa arvoja, jotka eivät sijaitse lukusuoralla tasaisin välein, vaan sijoittuen sille mielivaltaisesti ${\displaystyle \Omega =\{x_{1},x_{2},..,x_{n}\}}$. Arvojen todennäköisyydet olisivat kuitenkin symmetrisesti yhtä suuret. Jos satunnaisilmiön alkeistapaukset eivät ole lukuja, rittää todeta jakauman todennäköisyyksien symmetrisyys. Mikään ei estä numeroimasta epäsäännöllisesti sijaitsevat lukuarvot uudelleen, jolloin edellisistä merkinnöistä on apua.[1]

Kolikonheitolla mielletään olevan tasainen diskreetti jakauma, sillä kahden tuloksen, kruunan ja klaavan, todennäköisyydet ovat samat (ainakin likimain). Jos tulokset, kruuna ja klaava, muutetaan vastaavasti lukuarvoiksi 0 ja 1, saadaan satunnaismuuttuja. Näiden arvojen todennäköisyydet ovat siis kumpikin ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ ja jakaumaa merkitään ${\displaystyle X\sim ModDU(1)\sim DU(0,1)}$.[1]

Nopanheitossa kukin arpakuution tahko esiintyy yhtä yleisesti. Jos ${\displaystyle X}$ on satunnaismuuttuja, jonka lukuarvoja ovat silmäluvut, on sen perusjoukko ${\displaystyle \{1,2,3,4,5,6\}}$ ja sen suuruus kuusi. Kukin arvo esiintyy siten todennäköisyydellä ${\displaystyle {\tfrac {1}{6}}}$. Sen sijaan kahden nopan heitossa silmälukujen summa ei enää ole tasainen, sillä summat kuten summa 7 esiintyy todennäköisyydellä ${\displaystyle {\tfrac {1}{6}}}$ ja summa 2 todennäköisyydellä ${\displaystyle {\tfrac {1}{36}}}$. Jakaumaa merkitään esimerkiksi ${\displaystyle X\sim DU(6)\sim DU(1,6)}$.[1]

Diskreetin tasaisen jakauman todennäköisyysfunktio poikkeaa nollasta vain yksittäisissä pisteissä eli satunnaismuuttujan perusjoukon arvoilla. Sitä kutsutaan myös pistetodennäköisyysfunktioksi ja merkitään

${\displaystyle P(X=x)=f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{n}},&x\in \Omega \\0,&{\mbox{muulloin}}\end{cases}}}$

Diskreetin tasaisen jakauman kertymäfunktio on porrasfunktio, jonka välillä ${\displaystyle [a,b]}$ olevat arvot voidaan laskea lausekkeesta

${\displaystyle F(x)=P(X\leq x)={\frac {\lfloor x\rfloor -a+1}{b-a+1}}.}$

Merkintä ${\textstyle \lfloor x\rfloor }$ tarkoittaa lattiafunktiota. Kun ${\displaystyle x<a}$, on ${\displaystyle F(x)=0}$, ja kun ${\displaystyle x>b}$, on ${\displaystyle F(x)=1}$. Se on kussakin pisteessään oikealta puolelta jatkuva funktio.

Yleisessä tapauksessa odotusarvo ${\displaystyle \mu }$ on

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\mu =\sum _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i},}$ [1]

joka vastaa lukujen keskiarvoa.

Kun jakauma on ${\displaystyle Y\sim DU(a,b)}$, on odotusarvo välin päätepisteiden avulla ilmaistuna

${\displaystyle \operatorname {E} (Y)={\frac {a+b}{2}}}$,

ja peräkkäisten lukujen tapauksessa ${\displaystyle Z\sim DU(n)}$ saadaan

${\displaystyle \operatorname {E} (Z)={\frac {n+1}{2}}.}$

Yleisessä tapauksessa varianssi ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ on

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\frac {1}{n}}\sum _{i}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}={\frac {1}{n}}\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}-{\frac {1}{n}}\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{2}\right),}$

missä ${\displaystyle \mu }$ on odotusarvo.

Se voidaan ilmaista myös välin päätepisteiden avulla

${\displaystyle \operatorname {Var} (Y)={\frac {(b-a+2)(b-a)}{12}}={\frac {(b-a+1)^{2}-1}{12}}}$

tai peräkkäisten lukujen tapauksessa

${\displaystyle \operatorname {Var} (Z)={\frac {n^{2}-1}{12}}}$.

Keskihajonta saadaan varianssin neliöjuuresta

${\displaystyle \sigma ={\sqrt {\operatorname {Var} (X)}}.}$ [1]