Dirichlet’n sarja

Dirichlet'n sarja on muotoa

${\displaystyle D(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}}$

oleva sarja, jossa kertoimet ${\displaystyle a_{n}}$ ovat kompleksilukuja ja ${\displaystyle s}$ on kompleksimuuttuja. Sarja ${\displaystyle D(s)}$ voidaan myös tulkita lukujonon ${\displaystyle a(n)}$ generoivaksi funktioksi. Sarjaa voidaan käsitellä formaalisena kirjoitelmana, kuten formaalisia potenssisarjana, määrittelemällä niille yhteen- ja kertolasku luonnollisella tavalla muodostuu näistä formaaleista Dirichlet'n sarjoista rengas.

Syvemmälle menevissä tarkasteluissa sarjan analyyttiset ominaisuudet kuten suppeneminen, mahdollinen analyyttinen jatko, erikoispisteet, nollakohdat ja suuruusarviot ovat kuitenkin tärkeimpiä sarjan ominaisuuksia.

Tunnetuimpia Dirichlet'n sarjoja ovat varmasti Riemannin zeta-funktio

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}}$

ja Dirichlet'n L-funktiot

${\displaystyle L(s,\chi _{q})=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi _{q}(n)}{n^{s}}}.}$