Funktion differentiaali

Funktion muuttumista voidaan tutkia laskemalla sen arvoja eri muuttujan x arvoilla. Kun funktion ${\displaystyle f(x)}$ arvo lasketaan arvolla ${\displaystyle a}$, saadaan ${\displaystyle f(a).}$ Siirrytään sopivan matkan ${\displaystyle \Delta x=h}$ etäisyydelle ja lasketaan uusi funktion arvo ${\displaystyle f(a+h).}$ Funktion arvojen differenssi ${\displaystyle \Delta f}$ (engl. difference eli erotus) pisteessä ${\displaystyle a}$ on [2][5][8]

${\displaystyle \Delta f(a)=f(a+h)-f(a).}$

Usein tämä merkitään myös

${\displaystyle \Delta f(a)=\Delta y=f(a+h)-f(a)=f(a+\Delta x)-f(a).}$

Merkitään virhefunktiota ${\displaystyle \epsilon (x,h)}$ ja havaitaan, että se riippuu muuttujan arvosta x ja siirtymästä h. Silloin erotusosamäärän ja derivaatan erotus tarkoittaa virhettä, joka tehdään, kun erotusosamäärän arvolla korvataan derivaatan tarkkaa arvoa. Virhe lasketaan siten [2][5]

${\displaystyle \epsilon (x,h)={{f(x+h)-f(x)} \over h}-f'(x)={{\Delta f(x)} \over h}-f'(x).}$

Voidaan osoittaa, että jos korjaustermi pienenee olemattomaksi

${\displaystyle \lim _{h\to 0}\epsilon (x,h)=0,}$

on funktio derivoituva kyseisessä pisteessä x.

Kertomalla edellinen yhtälö luvulla h, saadaan [2][5][7]

${\displaystyle f(x+h)-f(x)=f'(x)h+h\epsilon (x,h).}$

Sama yhtälö voidaan merkitä myös

${\displaystyle \Delta f(x)=f'(x)h+h\epsilon (x,h),}$

eli

${\displaystyle \Delta f(x)=df+h\epsilon (x,h).}$

Yhtälön vasenta puolta kutsutaan differenssiksi ${\displaystyle \Delta f(x)}$ ja oikealla puolella ovat differentiaali ${\displaystyle f'(x)h}$, joka merkitään joskus ${\displaystyle df}$, ja korjaustermi ${\displaystyle h\epsilon (x,h).}$ Merkinnällä ${\displaystyle df}$ viitataan funktion arvojen (vanhanaikaiseen) infinitesimaaliseen muutokseen.[9]

Usean muuttujan funktio, joka saa reaalilukuarvoja, on skalaarikenttä ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$. Funktio f on differentioituva tarkastelupisteessä ${\displaystyle \mathbf {x_{0}} \in \mathbb {R} ^{n}}$, jos sillä on olemassa siinä pisteessä, ja pisteen lähiympäristössä, kaikkien muuttujiensa osittaisderivaatat. Silloin funktiolla on olemassa myös gradientti ja funktiolle voidaan kirjoittaa differentiaalikehitelmä

${\displaystyle f(\mathbf {x_{0}} +\mathbf {h} )-f(\mathbf {x_{0}} )=\nabla f(\mathbf {x_{0}} )\cdot \mathbf {h} +||\mathbf {h} ||\epsilon (\mathbf {x_{0}} ,\mathbf {h} ),}$

missä ${\displaystyle \mathbf {x_{0}} ,\,\mathbf {h} \in \mathbb {R} ^{n}}$ ja kertolasku on vektorien pistetulo. Kehitelmässä lauseke

${\displaystyle \nabla f(\mathbf {x_{0}} )\cdot \mathbf {h} }$

on funktion differentiaali df. Merkintä ${\displaystyle \nabla f(\mathbf {x_{0}} )}$ (lue "nabla f") tarkoittaa funktion gradienttia pisteessä ${\displaystyle \mathbf {x_{0}} }$. Gradientti ilmaisee funktion suunnatun derivaatan suurimman arvon ja suunnan. Kun gradientti kerrotaan suunnalla ${\displaystyle \mathbf {h} }$, saadaan tarkastelupisteen suunnatun derivaatan arvo suunnassa ${\displaystyle \mathbf {h} }$.

• Keisler, H. Jerome: Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach, 2013
• Hassi, Seppo: Matemaattiset menetelmät II (luentomoniste), Vaasan yliopisto, 2014

• Johdatus analyysiin (Luentomoniste), Kurssin sivusto, Tampereen yliopisto, 2011
• Karjalainen, Tiina: Eroja lukio- ja yliopistomatematiikassa erityisesti lukion differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssissa (Arkistoitu – Internet Archive) (tutkielma), 2011, Tampereen yliopisto
• Kock, Anders: Synthetic Differential Geometry, Cambridge University Press., 2006, (englanniksi)
• Goursat, Édouard: A course in mathematical analysis: Vol 1: Derivatives and differentials, definite integrals, expansion in series, applications to geometry, E. R. Hedrick, New York: Dover Publications, 1904 (julkaistu 1959)