Determinantti

Determinantin määritelmä voidaan esittää permutaatioiden avulla:

Matriisin ${\displaystyle A=[a_{ij}]_{n\times n}}$ determinantti on

${\displaystyle \det A=\sum _{j_{1},j_{2},j_{3},...,j_{n}}^{}\sigma \left(j_{1},j_{2},j_{3},\ldots ,j_{n}\right)\cdot a_{1j_{1}}\cdot a_{2j_{2}}\cdot a_{3j_{3}}\cdot \ldots \cdot a_{nj_{n}},}$

jossa ${\displaystyle (j_{1},j_{2},j_{3},\dots ,j_{n})}$ on eräs ${\displaystyle \{1,\dots ,n\}}$:n permutaatio ja summa kulkee kaikkien näiden permutaatioiden ylitse ja

${\displaystyle \sigma \left(j_{1},j_{2},j_{3},...,j_{n}\right)={\begin{cases}1,&{\mbox{jos }}{j_{1},j_{2},j_{3},...,j_{n}}{\mbox{ on parillinen}}\\-1,&{\mbox{jos }}{j_{1},j_{2},j_{3},...,j_{n}}{\mbox{ on pariton}}\end{cases}}}$

Permutaation parillisuus tarkoittaa sitä voiko sen saada parillisella määrällä vaihtoja permutaatiosta {1,2,3,...,n}. esimerkiksi {1,3,2} on pariton, koska se saadaan yhdellä vaihdolla permutaatiosta {1,2,3}, nimittäin vaihtamalla 2:n ja 3:n.

Tämä määritelmä on varsin kehittynyt ja sopii erityisesti determinanttien lukuisten laskusääntöjen osoitukseen. Se ei kuitenkaan sovellu determinantin varsinaiseen laskemiseen, mutta esimerkiksi ${\displaystyle 2\times 2}$ determinantin laskukaavan sillä saa hyvin:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}=\sigma (1,2)\cdot a\cdot d+\sigma (2,1)\cdot b\cdot c=a\cdot d-b\cdot c}$

• ${\displaystyle \det \left(A^{\operatorname {T} }\right)=\det \left(A\right)}$

• ${\displaystyle \det \left(A\cdot B\right)=\det \left(A\right)\cdot \det \left(B\right)}$, jossa A ja B ovat molemmat n ${\displaystyle \times }$ n -matriiseja.

• Jos A:n jokin rivi (tai sarake) on nolla, 1. kohdan nojalla

${\displaystyle \det \left(A\right)=0}$

• Jos A:n rivit (tai sarakkeet) ovat lineaarisesti riippuvia,

${\displaystyle \det \left(A\right)=0}$

• Jos matriisi A₁ saadaan matriisista A kertomalla jokin rivi vakiolla c,

${\displaystyle \det \left(A_{1}\right)=c\cdot \det \left(A\right)}$

• Jos matriisi A on yläkolmio-, alakolmio- tai diagonaalimatriisi, determinantti on kyseisen matriisin diagonaalialkioiden tulo.

• Jos matriisi A₁ saadaan matriisista A vaihtamalla kaksi riviä keskenään,

${\displaystyle \det \left(A_{1}\right)=-\det \left(A\right)}$

Sarrus’n sääntö on eräs menetelmä ja muistisääntö 3×3-matriisin determinantin laskemiseksi.

Edellisten tulosten perusteella voidaan perustella matriisin determinantin laskeminen rekursiivisesti kaavalla:

${\displaystyle \det A=\sum _{k=1}^{n}\left(-1\right)^{i+k}\cdot a_{ik}\cdot A_{ik}\,,\quad A\in \mathbb {R} ^{n\times n},}$

jossa A_ik on determinantti matriisista, joka saadaan kun poistetaan A:sta i:s rivi ja k:s sarake. Sama operaatio voidaan tehdä mille tahansa sarakkeelle, kuten alla esimerkissä näytetään.

Esimerkki:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{vmatrix}1&5&7\\6&0&1\\3&2&0\end{vmatrix}}&=1\cdot {\begin{vmatrix}0&1\\2&0\end{vmatrix}}-5\cdot {\begin{vmatrix}6&1\\3&0\end{vmatrix}}+7\cdot {\begin{vmatrix}6&0\\3&2\end{vmatrix}}\\&=1\cdot \left(0\cdot 0-2\cdot 1\right)-5\cdot \left(6\cdot 0-1\cdot 3\right)+7\cdot \left(6\cdot 2-0\cdot 3\right)=97\end{aligned}}}$

Determinantin määrittäminen näin on varsin tehotonta, koska jo ${\displaystyle 25\times 25}$ matriisin determinantin laskeminen rekursiivisesti vie tietokoneelta 25! laskutoimitusta. Koska jokainen matriisi voidaan saattaa yläkolmiomuotoon tietyillä elementaarisilla rivioperaatioilla, saadaan determinantiksi silloin:

${\displaystyle \det \left(A\right)=c\cdot d_{11}\cdot d_{22}\cdot d_{33}\cdot \ldots \cdot d_{nn}}$

,jossa vakio c määräytyy tehtyjen rivioperaatioiden mukaan ja ${\displaystyle d_{ii}}$ ovat A:sta saadun yläkolmiomatriisin diagonaalialkio. Rivioperaatioiden vaikutus c:hen näkyy alla:

1. Kun vaihdetaan kahta riviä aikaisempi vakiokertoja: ${\displaystyle c=-1c_{0}}$.
2. Kun lisätään toinen rivi kerrottuna vakiolla: ${\displaystyle c=c_{0}}$.
3. Kun kerrotaan rivi vakiolla k: ${\displaystyle c=kc_{0}}$.

Kohta kolme on epäolennainen, koska matriisien rivejä ei tarvitse kertoa.

määritellään alkion ${\displaystyle a_{ij}\,\!}$ komplementti eli kofaktori

${\displaystyle C_{ij}=(-1)^{i+j}\det A_{ij}\,\!}$.

Matriisin ${\displaystyle A=(a_{ij})\,\!}$ adjungoitu matriisi saadaan, kun alkiot korvataan niiden komplementilla ja saatu matriisi lopuksi transponoidaan. Merkitään

${\displaystyle \operatorname {adj} A={\begin{bmatrix}C_{11}&\cdots &C_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\C_{n1}&\cdots &C_{nn}\end{bmatrix}}^{\operatorname {T} }}$.

Neliömatriisia ${\displaystyle A}$ sanotaan kääntyväksi tai säännölliseksi, jos ${\displaystyle \det A\neq 0}$. Jos ${\displaystyle \det A=0}$, matriisi on singulaarinen.

Säännölliselle matriisille ${\displaystyle A}$ pätee

${\displaystyle A\left({\frac {1}{\det A}}\operatorname {adj} A\right)=I}$ ja ${\displaystyle \left({\frac {1}{\det A}}\operatorname {adj} A\right)A=I}$.

Tulosta käytetään määrittelemään matriisin käänteismatriisi.

Kahdessa ja kolmessa ulottuvuudessa determinantti vastaa lineaarikuvauksen geometrisia ominaisuuksia. Determinantin itseisarvo vastaa joko pinta-alan tai tilavuuden muutosta lineaarikuvauksessa. Determinantin positiivinen etumerkki tarkoittaa, että kätisyys ei muutu kuvauksessa, kun taas kätisyyden peilaavien kuvauksien determinantti on negatiivinen. Jos determinantti on ${\displaystyle 0}$, lineaarikuvaus litistää pienempään ulottuvuuteen, suoralle tai tasolle.

Lisäksi determinantti vastaa matriisin määrittämän monikulmion pinta-alaa tai kappaleen tilavuutta. Fysiikassa matriisin determinantti merkitsee momenttia.

• Axler, Sheldon Jay (1997), Linear Algebra Done Right (2nd ed.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98259-0
• de Boor, Carl (1990), "An empty exercise" (PDF), ACM SIGNUM Newsletter, 25 (2): 3–7, doi:10.1145/122272.122273.
• Lay, David C. (22 elokuuta 2005), Linear Algebra and Its Applications (3rd ed.), Addison Wesley, ISBN 978-0-321-28713-7
• Meyer, Carl D. (15 helmikuuta 2001), Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8, archived from the original on 2009-10-31
• Muir, Thomas (1960) [1933], A treatise on the theory of determinants, Revised and enlarged by William H. Metzler, New York, NY: Dover
• Poole, David (2006), Linear Algebra: A Modern Introduction (2nd ed.), Brooks/Cole, ISBN 0-534-99845-3
• G. Baley Price (1947) "Some identities in the theory of determinants", American Mathematical Monthly 54:75–90 MR0019078
• Horn, R. A.; Johnson, C. R. (2013), Matrix Analysis (2nd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-54823-6
• Anton, Howard (2005), Elementary Linear Algebra (Applications Version) (9th ed.), Wiley International
• Leon, Steven J. (2006), Linear Algebra With Applications (7th ed.), Pearson Prentice Hall