Derivaattaryhmä

Derivaattaryhmä (tai derivoitu ryhmä, kommutaattorialiryhmä, derivaatta) merkitsee abstraktissa algebrassa ryhmän kaikkien kommutaattorien (eli muotoa ${\displaystyle x^{-1}y^{-1}xy}$ olevien alkioiden) generoimaa aliryhmää.[1]

Ryhmän G derivaattaryhmää merkitään yleensä G', mutta kirjallisuudessa käytetään myös merkintöjä D(G), DG ja ${\displaystyle [G,G]}$. Derivoitu ryhmä sisältää tarkalleen kaikki G:n kommutaattorien tulot, mikä nähdään aliryhmäkriteeristä ottaen huomioon kommutaattoreiden toteuttama yhtälö [x,y]^-1 = [y,x]. Näin ollen se sisältää tarkalleen ne ryhmän G alkiot, jotka voidaan esittää muodossa ${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{-1}y_{i}^{-1}x_{i}y_{i}}$, missä ${\displaystyle n\geq 1}$ ja ${\displaystyle x_{i},y_{i}\in G}$ kaikilla ${\displaystyle i=1,\dots ,n}$.

Koska derivaattaryhmä on määritelty kommutaattoreita käyttäen, on luonnollista, että sillä on joitain vaihdannaisuuteen liittyviä ominaisuuksia. Ensimmäinen tällainen ominaisuus on seuraavanlainen: Mikäli G' on ryhmähomomorfismin ${\displaystyle f:G\rightarrow G_{1}}$ ytimessä, niin G:n kuva tämän kuvauksen suhteen on vaihdannainen. Tämän seurauksena saadaan tärkeä yhtäpitävyys:

${\displaystyle G'\leq H\leq G\quad \Leftrightarrow \quad H\triangleleft G}$ ja tekijäryhmä ${\displaystyle G/H}$ on Abelin ryhmä.

Tämän perusteella ${\displaystyle G'\triangleleft G}$ ja ${\displaystyle G/G'}$ on Abelin ryhmä. Lisäksi G' on nämä ehdot täyttävien G:n aliryhmien joukossa erikoisasemassa, sillä se on yllä olevan yhtäpitävyyden perusteella niistä suppein.[1]