Derivaatta

Yhden reaalimuuttujan funktion ${\displaystyle f(x)}$ derivaatan ${\displaystyle f'(x)}$ formaalinen määritelmä käyttää aina hyväkseen sen muutosnopeuden raja-arvoa. Seuraavassa funktion muutosnopeutta ilmaistaan sen erotusosamäärällä käyttäen valitun välin päätepisteitä ${\displaystyle x_{0}}$ ja ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\frac {\text{funktion f arvon muutos}}{\text{muuttujan x arvon muutos}}}={\frac {\Delta f}{\Delta x}}={\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}.}$

Merkinnällä ${\displaystyle \Delta a}$ tarkoitetaan suureen ${\displaystyle a}$ arvojen muutosta tai erotusta ${\displaystyle a_{1}-a_{2}}$. Välin ${\displaystyle [x_{0},x]}$ jälkimmäistä päätepistettä ${\displaystyle x}$ siirretään lähemmäksi välin ensimmäistä päätepistettä ${\displaystyle x_{0}}$. Tämä merkitään raja-arvon arvolla

${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}.}$ [4]

Tällöin voidaan sanoa (jos raja-arvo on olemassa), että funktiolla ${\displaystyle f(x)}$ on derivaatan arvo kohdassa ${\displaystyle x_{0}}$, joka merkitään tavallisesti ${\displaystyle f'(x_{0})}$. [5][2]

Erotusosamäärä ja sekantti.

Toisessa yleisessä määritelmässä erotusosamäärä muodostetaan pisteiden ${\displaystyle x_{0}}$ ja ${\displaystyle x=x_{0}+h}$ avulla, missä luku ${\displaystyle h=x-x_{0}}$ on pisteiden välinen etäisyys. Sijoittamalla tämä erotusosamäärään saadaan

${\displaystyle {\frac {\Delta f}{\Delta x}}={\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{(x_{0}+h)-x_{0}}}={\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}.}$

Nyt väliä ${\displaystyle [x_{0},x]=[x_{0},x_{0}+h]}$ voidaan raja-arvossa pienentää pienentämällä lukua ${\displaystyle h}$, jolloin saadaan (mikäli raja-arvo on olemassa) derivaatan arvo pisteessä ${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle f'(x_{0})=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}.}$ [1][2]

Derivaattafunktion avulla saadaan selville sellaiset kohdat, joissa alkuperäinen funktio mahdollisesti muuttaa kulkusuuntaansa. Näissä kohdissa derivaattafunktion arvo on nolla (eli funktion kulmakerroin on 0). Derivaattafunktion merkki - ja funktion kulkusuunta - voi vaihtua vain derivaatan nollakohdassa.[6] Mikäli tällaisia kohtia ei ole, on funktio aidosti kasvava tai aidosti vähenevä.

Esimerkiksi kolmannen asteen funktio ${\displaystyle x^{3}+x^{2}-5x}$ derivoituu sääntöjen mukaisesti muotoon ${\displaystyle 3x^{2}+2x-5}$. Laskemalla derivaattafunktion nollakohdat, jotka ovat ${\displaystyle x=-5/3}$ ja ${\displaystyle x=1}$ saadaan selville kohdat joissa alkuperäinen funktio todennäköisesti vaihtaa kulkusuuntaansa. Lasketaan derivaatan arvo kunkin nollakohdan kummallakin puolella, esimerkiksi pisteissä -2, 0 ja 2. Jos saatu arvo on negatiivinen, on funktion kuvaaja laskeva, jos positiivinen, on funktion kuvaaja nouseva.

Funktion ${\displaystyle x^{3}+x^{2}-5x}$ kulkukaavio

		-5/3		1
${\displaystyle f'(x)}$	+		-		+
${\displaystyle f(x)}$	nouseva		laskeva		nouseva

Mikäli funktion kulkua tarkasteltaisiin suljetulla välillä ${\displaystyle [-3,2]}$, huomattaisiin, että funktio saisi suurimman ja pienimmän arvonsa kyseisissä derivaatan nollakohdissa. Nämä kohdat ${\displaystyle x=-5/3}$ ja ${\displaystyle x=1}$ ovat funktion paikallisia maksimi- ja minimikohtia. Funktiolla ei kuitenkaan ole suurinta tai pienintä arvoa, kun tarkasteluvälinä on koko reaaliakseli, koska sen arvojoukko on negatiivisesta äärettömyydestä positiiviseen äärettömyyteen.

Kuvan funktio on derivoituva muualla paitsi kohdassa x = 0.

Derivaatta on olemassa pisteessä ${\displaystyle x_{0}}$, mikäli erotusosamäärän raja-arvo on äärellinen ja se voidaan määrittää yksikäsitteisesti. Käyttämällä hyväksi toispuoleisen derivaatan käsitteitä, voidaan derivaatan olemassaolo ilmaista niin, että sekä vasemmanpuoleisen että oikeanpuoleisen derivaatan tulee olla olemassa ja niiden arvojen tulisi olla yhtä suuret.[4][7][8]

Vaikeasti käyttäytyvillä funktioilla ei riitä erotusosamäärän raja-arvon intuitiivinen sievennys, vaan tarvitaan täsmällisempi matemaattinen määritelmä. Sellainen on esimerkiksi

${\displaystyle \forall {\epsilon >0}\,\exists {\delta >0}:|x-x_{0}|<\delta \Rightarrow \left|{f(x)-f(x_{0}) \over x-x_{0}}-f'(x_{0})\right|<\epsilon \,}$.

Toisin sanoen kaikille ehdotetuille luvuille ${\displaystyle \epsilon >0\,}$ löytyy siitä riippuva luku ${\displaystyle \delta >0\,}$ siten, että erotusosamäärän arvot ovat alle ${\displaystyle \epsilon \,}$:in päässä raja-arvosta eli derivaatan arvosta, kun muuttujan arvot ovat alle ${\displaystyle \delta \,}$:n päässä lähestyttävästä arvosta. Mikäli aina lukua ${\displaystyle \epsilon \,}$ pienennettäessä, löytyy edellistä pienempi ${\displaystyle \delta \,}$, voidaan pitää osoitettuna, että raja-arvo tulee löytymään.

Derivaattafunktio tarkoittaa sellaista lauseketta, jolla voi laskea funktion derivaatan arvon kyseisessä kohdassa ilman raja-arvon määritystä. Tällaisen funktion määrittämistä kutsutaan derivoimiseksi. Derivointifunktiota kutsutaan yleisesti myös derivaataksi. Derivaattafunktion määrittelyjoukko voi olla sama kuin funktion määrittelyjoukko, mutta toisinaan se on suppeampi väli.

Määritetään funktion ${\displaystyle f(x)}$ derivaattafunktio missä funktion määrittelyjoukon pisteessä ${\displaystyle x}$ hyvänsä. Niissä pisteissä, missä raja-arvo on määritelty, saadaan derivaattafunktioksi ${\displaystyle f'(x)}$ (käytetään toista määritelmää)

${\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}.}$ [2]

Tämän derivaattafunktion määrittelyjoukko saadaan, kun raja-arvon kannalta määrittelemättömät kohdat jätetään funktion määrittelyjoukosta pois.[2]

Esimerkiksi funktion ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ derivaattafunktio määritetään seuraavasti. Merkitään lausekkeet erotusosamäärään ja määritetään raja-arvo:

${\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {(x+h)^{2}-x^{2}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {(x^{2}+2hx+h^{2})-x^{2}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {2hx+h^{2}}{h}}=\lim _{h\to 0}(2x+h)=2x+0=2x.}$

Lausekkeella ${\displaystyle f'(x)=2x}$ voi helposti laskea funktion ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ derivaatan arvoja ilman, että raja-arvoa tarvitsee enää määrittää.[4]

Tilanteita, jossa derivaatan arvoa ei voi funktion määrittelyalueelta määrittää, liittyvät esimerkiksi funktion liian suureen jyrkkyyteen. Silloin funktion kuvaajalle piirretty tangentti on pystysuora, jolle ei ole määritelty kulmakerrointa. Jos derivaatta voidaan määrittä kaikissa muissa funktion määrittelyjoukon kohdissa, muodostuu tästä derivaattafunktion määrittelyjoukko. Laajin väli, missä derivaatta on mielekästä määrittää, on funktion oma määrittelyjoukko.[2]

Operaattoria, jolla funktion derivoinnin aikomus ilmaistaan, merkitään derivaatta-operaattorilla. Suomenkin lukiokoulutuksessa on yleisesti käytössä iso D-kirjain. Edellisen esimerkin derivointia merkitään sillä

${\displaystyle Dx^{2}=2x.}$ [1]

Toinen yleinen merkintä "pilkku"-merkintä, jossa funktion derivaattafunktiota merkitään

${\displaystyle f'=f'(x)\,.}$

Tässä Leonhard Eulerin ja Louis Langrangen mukaan nimetyssä nk. Euler-Lagrange-merkintätavassa[9] oletetaan, että lukija tuntee muuttujan, jonka suhteen derivointi suoritetaan. Tämän vuoksi sitä käytetään pääasiassa yhden muuttujan derivoinnissa, ja sekin on siten yleinen esimerkiksi suomalaisessa koulumatematiikassa. Mikäli muuttujana on aika (merkitään t), kuten fysiikassa on yleistä, käytetään "piste"-merkintää

${\displaystyle {\dot {f}}={\dot {f}}(t)\,.}$ [1]

Useamman muuttujan funktioissa voidaan suorittaa derivointi yhdelle muuttujalle, joka tulee ilmoittaa lukijalle alaindeksinä tai uudella merkinnällä

${\displaystyle D_{x}f={\frac {df}{dx}}\,.}$

Merkinnät ${\displaystyle df}$ ja ${\displaystyle dx}$ tarkoittavat suureiden ${\displaystyle f\,}$ ja ${\displaystyle x\,}$ differenssejä ja nimittäjästä ${\displaystyle dx}$ voidaan päätellä, minkä muuttujan suhteen derivointi suoritetaan.[1]

Derivaatan arvo jossakin kohdassa ${\displaystyle a\,}$ merkitään vastaavasti ${\displaystyle f'(a)\,}$, ${\displaystyle Df(a)\,}$, ${\displaystyle \left({\frac {df}{dx}}\right)_{x=a}}$ tai ${\displaystyle {\dot {f}}(a)\,.}$

Kun funktion ${\displaystyle f\,}$:n derivaattafunktio on myös derivoituva, voidaan funktiota ${\displaystyle f\,}$ kutsutaan kahdesti derivoituvaksi. Kahdesti derivoitu funktio eli toinen derivaatta määritetään

${\displaystyle f''(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f'(x+h)-f'(x)}{h}}}$ [1]

ja merkitään ${\displaystyle f''\,}$, ${\displaystyle D^{2}f(x)\,}$ tai ${\displaystyle {\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}}$. Derivaattafunktioiden derivaattoja tarvitaan monissa sovelluksissa. Silloin voidaan yleistää, että jos ${\displaystyle f\,}$:n ${\displaystyle (n-1)\,}$:s derivaattafunktio on derivoituva, niin funktio on ${\displaystyle n\,}$ kertaa derivoituva, ja sen ${\displaystyle n\,}$:ttä derivaattaa merkitään ${\displaystyle f^{(n)}\,}$, ${\displaystyle D^{n}f(x)\,}$ tai ${\displaystyle {\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}\,}$.[1][10][11]

Jos funktion (${\displaystyle n\,}$:s) derivaatta on olemassa ja jatkuva, niin funktion sanotaan olevan (${\displaystyle n\,}$ kertaa) jatkuvasti derivoituva. Mikäli funktion ${\displaystyle n\,}$:s derivaattafunktio on olemassa ja jatkuva, sanotaan, että funktio on ${\displaystyle C^{n}\,}$-funktio. Jos funktio on äärettömän monta kertaa derivoituva ja sen jokainen derivaattafunktio on jatkuva, niin funktion sanotaan olevan ${\displaystyle C^{\infty }\,}$-funktio.^lähde?

Seuraavassa luettelossa on eräiden alkeisfunktioiden derivaattojen muistikaavoja. Siinä ei oteta kantaa funktion ja derivaatan määrittelyjoukkoihin.

Potenssin derivaatta	Trigonometristen funktioiden derivaatat	Arkusfunktioiden derivaatat
${\displaystyle Dx^{n}=nx^{n-1}\,}$, missä ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$	${\displaystyle D\sin x=\cos x\,}$	${\displaystyle D\arcsin x={1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\,}$
${\displaystyle D{\sqrt {x}}={1 \over 2{\sqrt {x}}}\,}$ [2]	${\displaystyle D\cos x=-\sin x\,}$	${\displaystyle D\arccos x=-{1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\,}$
${\displaystyle D{\sqrt[{3}]{x}}={1 \over 3{\sqrt[{3}]{x^{2}}}}\,}$	${\displaystyle D\tan x={1 \over \cos ^{2}x}=1+\tan ^{2}x\,}$	${\displaystyle D\arctan x={1 \over 1+x^{2}}\,}$
${\displaystyle D{\sqrt[{n}]{x}}={1 \over n{\sqrt[{n}]{x^{n-1}}}}\,}$	${\displaystyle D\cot x=-{1 \over \sin ^{2}x}=-1-\cot ^{2}x\,}$	${\displaystyle D\operatorname {arccot} x=-{1 \over 1+x^{2}}\,}$
Eksponenttifunktion derivaatta	Hyperbolisten funktioiden derivaatat	Hyperbolisten käänteisfunktioiden eli areafunktioiden derivaatat
${\displaystyle De^{x}=e^{x}\,}$	${\displaystyle D\sinh x=\cosh x\,}$	${\displaystyle D\ \operatorname {arsinh} \,x={1 \over {\sqrt {x^{2}+1}}}\,}$
${\displaystyle Da^{x}=a^{x}\ln a\,}$, missä ${\displaystyle a>0\,}$	${\displaystyle D\cosh x=\sinh x\,}$	${\displaystyle D\ \operatorname {arcosh} \,x={1 \over {\sqrt {x^{2}-1}}}\,}$
	${\displaystyle D\tanh x={\frac {1}{\cosh ^{2}x}}\,}$	${\displaystyle D\ \operatorname {artanh} \,x={1 \over 1-x^{2}}\,}$
Logaritmifunktioiden derivaatat
${\displaystyle D\ln |x|={1 \over x}\,}$
${\displaystyle D\log _{a}|x|={1 \over x\ln a}\,}$, missä ${\displaystyle a>0\,}$ ja ${\displaystyle a\neq 1}$

Potenssin derivaattafunktio voidaan määrittää derivaatan määritelmän mukaan

${\displaystyle Df(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\,,}$

jolloin potenssifunktiolle saadaan

${\displaystyle Dx^{n}=\lim _{h\to 0}{\frac {(x+h)^{n}-x^{n}}{h}}\,.}$

Koska

${\displaystyle (x+h)^{n}=a_{0}x^{n}+a_{1}hx^{n-1}+a_{2}h^{2}x^{n-2}+a_{3}h^{3}x^{n-3}+...+a_{n-1}h^{n-1}x+h^{n}\,}$,

missä ${\displaystyle a_{i}}$ vastaa kunkin termin binomikerrointa (erityisesti ${\displaystyle a_{0}=1\,}$ ja ${\displaystyle a_{1}=n\,}$), voidaan erotusosamäärä kirjoittaa

${\displaystyle Dx^{n}=\lim _{h\to 0}{\frac {({\cancel {x^{n}}}+nhx^{n-1}+a_{2}h^{2}x^{n-2}+a_{3}h^{3}x^{n-3}+...+a_{n-1}h^{n-1}x+h^{n})-{\cancel {x^{n}}}}{h}}\,}$

${\displaystyle =\lim _{h\to 0}(nx^{n-1}+a_{2}hx^{n-2}+a_{3}h^{2}x^{n-3}+...+a_{n-1}h^{n-2}x+h^{n-1})\,}$

${\displaystyle =nx^{n-1}+0+0+...+0+0\,}$

${\displaystyle =nx^{n-1}\,.}$ [10]

Tämän todistuksen ja summaussäännön perusteella voidaan helposti todistaa polynomifunktion ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}}$ derivaatta.

Mikäli funktio on alkeisfunktioiden yhdistelmä, kuten niiden summa, erotus, tulo, osamäärä tai yhdistelmä, voidaan niitä derivoida seuraavien sääntöjen puitteissa.

Säännön nimi	Derivointisääntö
Vakion derivaatta	${\displaystyle Dc=0\,}$, kun ${\displaystyle c\,}$ on vakio.[4]
Vakion siirto	${\displaystyle Dcf(x)=cDf(x)\,}$ [1][4]
Summan derivaatta	${\displaystyle D(f(x)+g(x))=Df(x)+Dg(x)\,}$ [1][10][4]
Tulon derivaatta	${\displaystyle D(f(x)g(x))=g(x)Df(x)+f(x)Dg(x)\,}$ [1][12][13][4]
Funktion potenssin derivaatta	${\displaystyle Df(x)^{n}=nf(x)^{n-1}f'(x)\,}$ [12][14]
Osamäärän derivaatta	${\displaystyle D{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {g(x)Df(x)-f(x)Dg(x)}{g(x)^{2}}}\,}$ [14][13][4]
Yhdistetyn funktion derivaatta	${\displaystyle Dg(f(x))=g'(f(x))f'(x)\,}$ [4]
Käänteisfunktion derivaatta	${\displaystyle (f^{-1})'(f(x))={1 \over f'(x)}\,}$, jossa ${\displaystyle f^{-1}\,}$ on ${\displaystyle f\,}$:n käänteisfunktio.[4]

Vakiofunktion ${\displaystyle f(x)=c}$ derivointi voidaan suorittaa määritelmän kautta seuraavasti:

${\displaystyle Dc=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {c-c}{h}}=0.}$

Derivaatta on olemassa, mikäli ${\displaystyle f(z)}$ toteuttaa Cauchyn–Riemannin yhtälöt [15] ja sen osittaisderivaatat ovat pisteen ${\displaystyle z_{0}}$ ympäristössä G jatkuvat. Tällaisia kompleksifunktioita kutsutaan holomorfisiksi funktioiksi. Silloin raja-arvo

${\displaystyle f'(z_{0})=\lim _{z\to z_{0}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}}$ [16]

voidaan määrittää yksikäsitteisesti.[17]

Esimerkiksi toisen asteen kompleksifunktio voidaan kirjoittaa auki

${\displaystyle f(z)=z^{2}=(x+iy)^{2}=x^{2}+xiy+iyx-y^{2}=(x^{2}-y^{2})+i(2xy)=u(x,y)+iv(x,y).}$

Derivaatan olemassaolo voidaan todeta muodostamalla funktion reaali- ja imaginaariosien osittaisderivaatat [15][18]

${\displaystyle u_{x}(x,y)={\partial u(x,y) \over \partial x}={\partial (x^{2}-y^{2}) \over \partial x}=2x-0=2x,}$

${\displaystyle v_{y}(x,y)={\partial v(x,y) \over \partial y}={\partial (2xy) \over \partial y}=2x\cdot 1=2x,}$

${\displaystyle u_{y}(x,y)={\partial u(x,y) \over \partial y}={\partial (x^{2}-y^{2}) \over \partial y}=0-2y=-2y}$ ja

${\displaystyle v_{x}(x,y)={\partial v(x,y) \over \partial x}={\partial (2xy) \over \partial x}=2\cdot 1\cdot y=2y.}$

Koska saadut osittaisderivaatat ovat polynomeina jatkuvia ja ne toteuttavat Cauchyn–Riemannin yhtälöt

${\displaystyle u_{x}(x,y)=v_{y}(x,y)}$

ja

${\displaystyle u_{y}(x,y)=-v_{x}(x,y),}$

on funktio ${\displaystyle f(z)=z^{2}}$ derivoituva.[15]

Kompleksisten alkeisfunktioiden derivointisäännöt ja yleiset derivointisäännöt säilyvät samanlaisina kuin reaalimuuttujaisilla alkeisfunktioilla.

Reaaliarvoisille usean muuttujan funktiolle voidaan määritellä osittaisderivaatta, joka on tavallinen derivaatta yhden muuttujansa suhteen. Osittaisderivoitaessa yhtä muuttujaa, muita muuttujia kohdellaan kuin vakioita. Sitä käytetään, kun halutaan tietää yhden muuttujan muutoksen vaikutus funktion arvoihin.[18]

Reaaliarvoisille usean muuttujan funktiolle voidaan määritellä suunnattu derivaatta, joka on tavallinen derivaatta yhdessä pisteessä halutussa suunnassa. Kussakin määrittelyjoukon pisteessä voidaan funktiolle määrittää suunnattu derivaatta äärettömän moneen eri suuntaan. Erisuuntaiset derivaatat ovat arvoltaan usein erisuuruisia. Ne voidaan laskea kätevästi käyttäen gradienttia. Sunnatulla derivaatalle voidaan määrittää myös toispuoleinen derivaatta.[19]