Cramerin sääntö

Tarkastellaan lineaarista yhtälöryhmää, missä on n tuntematonta ja n riviä.

Yhtälöryhmä voidaan esittää matriisien tulona seuraavasti:

${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }$,

missä ${\displaystyle n\times n}$ matriisilla ${\displaystyle A}$ on nollasta poikkeava determinantti, ja vektori ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})^{\mathrm {T} }}$ on muuttujien muodostama sarakevektori.

Cramerin säännön mukaan jos tällä lineaarisella yhtälöryhmällä on yksittäinen ratkaisu, niin tuntemattomien arvot saadaan kaavasta:

${\displaystyle x_{i}={\frac {\det(A_{i})}{\det(A)}}\qquad i=1,\ldots ,n\,}$

missä ${\displaystyle A_{i}}$ on matriisi joka muodostetaan korvaamalla matriisin ${\displaystyle A}$ i:s sarake sarakevektorilla ${\displaystyle \mathbf {b} }$.

Sääntö pätee lineaarisille yhtälöryhmille, jonka kertoimet ja vakiot kuuluvat mihin tahansa kuntaan, ei ainoastaan reaaliluvuille.

On näytetty, että Cramerin sääntö voidaan toteuttaa ajassa O(n³)[6]. Aikavaativuus on verrattavissa Gaussin-Jordanin eliminaatiomenetelmään. Luokkaan O(n³) pääsemiseksi tarvitaan Cramerin säännön osalta tehokasta determinantin laskemistapaa. Perinteisellä determinantin laskukaavalla lasketaan ${\displaystyle n\times n}$ matriisien determinantteja n+1 kertaa antaen työmääräksi (n+1)!(n-1) laskutoimusta. Näin ollen perinteisellä determinantin laskukaavalla Cramerin säännön aikavaatimus on luokkaa O(n!n) [7].

Olkoon ${\displaystyle A}$ kertoimien matriisi ja alimatriisi ${\displaystyle M_{ij}}$ matriisi, joka on saatu poistamalla matriisista ${\displaystyle A}$ i:s rivi ja j:s sarake.

Määritellään alkion ${\displaystyle a_{ij}}$ kofaktori

${\displaystyle (-1)^{i+j}det(M_{ij})=A_{ij}}$.

Esitellään vielä uusi matriisi korvaamalla matriisin A alkiot niiden kofaktoreilla ja transponoimalla saatu matriisi. Tätä matriisia kutsutaan adjungoiduksi matriisiksi ja se merkitään

${\displaystyle \operatorname {adj} A={\begin{bmatrix}A_{11}&\cdots &A_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&\cdots &A_{nn}\end{bmatrix}}^{\operatorname {T} }}$.

Olkoon edelleen ${\displaystyle det(A)\neq 0}$, jolloin sillä on käänteismatriisi. Kääntyvälle matriisille pätee:

${\displaystyle A\left({\frac {1}{\det A}}\operatorname {adj} A\right)=I}$ ja ${\displaystyle \left({\frac {1}{\det A}}\operatorname {adj} A\right)A=I}$.

Nyt käänteismatriisi ${\displaystyle A^{-1}}$ voidaan esittää A:n determinantin käänteisluvun ja ${\displaystyle A}$:n adjungoidun matriisin tulona.

${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}=A^{-1}\mathbf {b} ={\begin{bmatrix}{\frac {A_{11}}{det(A)}}&{\frac {A_{21}}{det(A)}}&\dots &{\frac {A_{n1}}{det(A)}}\\{\frac {A_{12}}{det(A)}}&{\frac {A_{22}}{det(A)}}&\dots &{\frac {A_{n2}}{det(A)}}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\{\frac {A_{1i}}{det(A)}}&{\frac {A_{2i}}{det(A)}}&\dots &{\frac {A_{ni}}{det(A)}}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\{\frac {A_{1n}}{det(A)}}&{\frac {A_{2n}}{det(A)}}&\dots &{\frac {A_{nn}}{det(A)}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{bmatrix}}}$.

Koska kyseessä on matriisitulo, niin tämä tarkoittaa sitä, että

${\displaystyle x_{i}={\frac {A_{1i}}{det(A)}}b_{1}+{\frac {A_{2i}}{det(A)}}b_{2}+\dots +{\frac {A_{ni}}{det(A)}}b_{n},{\text{ kun }}i=1,2,3,\dots ,n}$.

Olkoon nyt

${\displaystyle A_{i}={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1i-1}&b_{1}&a_{1i+1}&\dots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2i-1}&b_{1}&a_{2i+1}&\dots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{ni-1}&b_{1}&a_{ni+1}&\dots &a_{nn}\\\end{bmatrix}}}$.

Jos selvitämme determinantin ${\displaystyle det(A_{i})}$ kehittämällä i:nnen sarakkeen suhteen, niin huomaamme, että

${\displaystyle det(A_{i})=A_{1i}b_{1}+A_{2i}b_{2}+\dots +A_{ni}b_{n}}$.

Tällöin

${\displaystyle x_{i}={\frac {det(A_{i})}{det(A)}}{\text{, kun }}i=1,2,\dots ,n}$. [8]

Tarkastellaan lineaarista yhtälöryhmää ${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}ax+by&={\color {red}e}\\cx+dy&={\color {red}f}\end{matrix}}\right.\ }$

Yhtälöryhmä voidaan esittää matriisimuodossa: ${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {red}e}\\{\color {red}f}\end{bmatrix}}.}$

Oletetaan, että ad − bc ei ole 0. Nyt x ja y voidaan löytää Cramerin säännöllä:

${\displaystyle x={\begin{vmatrix}\color {red}{e}&b\\\color {red}{f}&d\end{vmatrix}}/{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}={{\color {red}e}d-b{\color {red}f} \over ad-bc}}$

ja

${\displaystyle y={\begin{vmatrix}a&\color {red}{e}\\c&\color {red}{f}\end{vmatrix}}/{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}={a{\color {red}f}-{\color {red}e}c \over ad-bc}.}$

Säännöt 3×3-matriiseille ovat samankaltaiset. Olkoon ${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}ax+by+cz&={\color {red}j}\\dx+ey+fz&={\color {red}k}\\gx+hy+iz&={\color {red}l}\end{matrix}}\right.}$.

Yhtälöryhmä voidaan esittää matriisimuodossa ${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {red}j}\\{\color {red}k}\\{\color {red}l}\end{bmatrix}}.}$

Arvot muuttujille x, y ja z voidaan löytää seuraavasti:

${\displaystyle x={\frac {\begin{vmatrix}{\color {red}j}&b&c\\{\color {red}k}&e&f\\{\color {red}l}&h&i\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}},\quad y={\frac {\begin{vmatrix}a&{\color {red}j}&c\\d&{\color {red}k}&f\\g&{\color {red}l}&i\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}},{\text{ ja }}z={\frac {\begin{vmatrix}a&b&{\color {red}j}\\d&e&{\color {red}k}\\g&h&{\color {red}l}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}}.}$

• Matriisi
• Lineaarinen yhtälöryhmä

• Kivelä, Simo K.: Algebra ja geometria. Helsinki: Otatieto, 1989. ISBN 951-672-103-6.
• Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi I: Vektorialgebra ja analyyttinen geometria. Helsinki: Otakustantamo, 1969. ISBN 951-671-067-0.