Todennäköisyys

Satunnaisilmiön perimmäisiä rakenteita tai toimintoja ei tarvitse tuntea, vaan todennäköisyyslaskennassa kiinnitetään huomiota vain sen tuottamiin tuloksiin. Satunnaisilmiön sattumanvaraisesti syntyviä tai vaihtuvia tuloksia kutsutaan alkeistapauksiksi tai satunnaismuuttujien arvoiksi. Kaikki alkeistapauksien tai satunnaismuuttujan arvot tulee tuntea ja näiden arvojen esiintymisen yleisyys tulee voida mitata ja sitten esittää niiden todennäköisyys lukuarvoina. Vasta tämän jälkeen voidaan suorittaa todennäköisyyteen perustuvia arvioita satunnaisilmiön toiminnasta. Tapahtuman ${\displaystyle A}$ todennäköisyyttä merkitään usein ${\displaystyle \mathbb {P} (A)}$, ${\displaystyle P(A)}$, ${\displaystyle p(A)}$ tai ${\displaystyle Pr(A)}$.[7]

Kaikkien alkeistapauksien tai satunnaismuuttujan arvojen kokoelmaa kutsutaan perusjoukoksi tai otosavaruudeksi tai tapahtuma-avaruudeksi. Perusjoukko sisältää kaikki ne alkeistapaukset tai satunnaismuuttujan arvot, joita voi sattua, eikä muita tapauksia tai arvoja tule esiintymään. Tähän varmuuteen perustuvat todennäköisyyslaskennan reunaehdot. Tapahtuma on sellaisten perusjoukon alkeistapauksien tai satunnaismuuttujan arvojen kokoelma, joka muodostaa osan perusjoukosta. Tapahtuma on siten perusjoukon osajoukko, ja ne tapaukset, jotka eivät kuulu tapahtumaan, ovat osa vastatapahtumaa eli komplementtitapahtumaa, joka on myös perusjoukon osajoukko. Tapahtuman ${\displaystyle A}$ ja vastatapahtuman ${\displaystyle A^{c}}$ osajoukot sisältävät eri tapaukset ja toisaalta yhdessä ne muodostavat koko perusjoukon eli ${\displaystyle A\cup A^{c}=\Omega }$. Terveen järjen mukaisesti tulee olla niin, että jos tapahtuman todennäköisyys on ${\displaystyle P(A)}$ ja vastatapahtuman todennäköisyys on ${\displaystyle P(A^{c})}$, tulee näiden summaksi ${\displaystyle P(A)+P(A^{c})=1}$. Tapaus kuuluu siten tarkasteltavaan tapahtumaan tai sen vastatapahtumaan.[7][8]

Edellä selostettu ominaisuus, jossa tapahtuma ja sen vastatapahtuma sisältävät eri alkeistapaukset, on nimeltään toistensa poissulkevuus tai erillisyys. Yleisesti sanotaan, että saman perusjoukon kaksi tapahtumaa ${\displaystyle A}$ ja ${\displaystyle B}$ ovat erillisiä tapahtumia, jos niillä ei ole yhtään yhteistä alkeistapausta. Jos nämä tapahtumat yhdistetään suuremmaksi joukoksi, tulisi niiden yhdistelmä olla edellisiä yleisempi. Yleensä vaaditaankin erillisissä tapahtumissa, että todennäköisyydet on voitava laskea suoraan yhteen. Tätä kutsutaan todennäköisyyden additiiviseksi ominaisuudeksi. Sen avulla voidaan perustella myös tapahtuman ja sen vastatapahtuman tulos 1.[8]

Matemaattisesti on huomattu välttämättömäksi olettaa todennäköisyyden jatkuvuus. Se on vaikein ”terveen järjen vaatimuksista” ymmärtää, mutta se onkin matemaatikkojen asettama lisävaatimus. Tarkastellaan kahta tapahtumaa, josta ${\displaystyle A}$ on tapahtuman ${\displaystyle B}$ osajoukko. Tapahtuma ${\displaystyle A}$ sisältää kaikki alkeistapaukset, jotka ovat myös tapahtumassa ${\displaystyle B}$. Tapahtumassa ${\displaystyle B}$ on näiden tapauksien lisäksi vielä muitakin eli tapahtuma ${\displaystyle B}$ on suurempi tapahtuma kuin ${\displaystyle A}$. Joukko-opillisesti tämä merkitään ${\displaystyle A\subset B}$. Arkipäivän järjen mukaan tapahtuman ${\displaystyle B}$ todennäköisyys tulisi olla suurempi kuin tapahtuman ${\displaystyle B}$ eli ${\displaystyle P(A)\leq P(B)}$. Todennäköisyyden jatkuvuus tarkoittaa sitä, että kaikille tapahtumille, jotka jotka ovat toistensa osajoukkoja seuraavasti [7][8]

${\displaystyle A_{1}\subset A_{2}\subset A_{3}\subset \ldots }$

tulisi todennäköisyyksien kasvaa

${\displaystyle P(A_{1})\leq P(A_{2})\leq P(A_{3})\leq \ldots }$

Vaikka tapahtumajoukkoa laajennettaisiin loputtomasti, tulisi sen laajinta yhdistettä kutsua myös tapahtumaksi ja sille tulisi voida laskea todennäköisyyden arvo. Siis

${\displaystyle A_{1}\subset A_{2}\subset A_{3}\subset \ldots =\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}=\lim _{i\to \infty }A_{i},}$

jonka todennäköisyys on

${\displaystyle P\left(\lim _{i\to \infty }A_{i}\right)=\lim _{i\to \infty }P(A_{i}).}$

Samaa ominaisuutta on vaadittu myös osajoukoille, jossa tapahtumien sisältämiä tapauksia karsitaan

${\displaystyle A_{1}\supset A_{2}\supset A_{3}\supset \ldots =\bigcap _{i=1}^{\infty }A_{i}=\lim _{i\to \infty }A_{i},}$

jolloin todennäköisyydet pienenevät ja lopullinen todennäköisyys olisi

${\displaystyle P\left(\lim _{i\to \infty }A_{i}\right)=\lim _{i\to \infty }P(A_{i}).}$

Näillä ajatuksilla voidaan perustella suurten lukujen lait, jotka vaadittiin tilastollisessa todennäköisyyden tulkinnassa.[7][8]

Edellä esitellyt todennäköisyyksien ominaisuudet ovat kuitenkin niin väljät, etteivät niillä voida määritä todennäköisyysmittaa tiukasti. Todennäköisyyden määrittelyyn jää runsaasti valinnanvaraa ja sille onkin käytössä erilaisia määritelmiä. Niiden matematiikka kuitenkin seuraa edellisiä yleisiä reunaehtoja.

Todennäköisyyslaskennassa tapahtuman ${\displaystyle A}$ todennäköisyys on jokin reaaliluku 0:n ja 1:n väliltä eli

${\displaystyle 0\leq P(A)\leq 1.}$ [1]

Tapahtuman ${\displaystyle A}$ vastatapahtuman eli komplementtitapahtuman ${\displaystyle A^{c}}$ todennäköisyys on

${\displaystyle P(A^{c})=1-P(A),}$ [1]

koska tapahtumalle ja vastatapahtumalle tulee päteä ${\displaystyle P(A)+P(A^{c})=1}$. Esimerkiksi todennäköisyys sille, ettei yhden nopan heitossa saada kuutosta, on ”1 − todennäköisyys saada kuutonen” eli ${\displaystyle {1}-{\tfrac {1}{6}}={\tfrac {5}{6}}}$.

Jos kaksi tapahtumaa ${\displaystyle A}$ ja ${\displaystyle B}$ ovat erillisiä tapahtumia, niin todennäköisyys sille, että joko tapahtuma ${\displaystyle A}$ tai tapahtuma ${\displaystyle B}$ sattuu (myös molemmat voivat sattua) on

${\displaystyle P(A{\mbox{ tai }}B)=P(A\cup B)=P(A)+P(B).}$ [1]

Esimerkiksi todennäköisyys heittää yhdellä nopalla silmäluvun yksi tai kaksi on ${\displaystyle P(1{\mbox{ tai }}2)=P(1)+P(2)={\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{6}}={\tfrac {1}{3}}}$.

Jos tapahtumat eivät ole erillisiä, niin silloin tapahtumista jätetään yhteiset tapaukset kerran pois ja todennäköisyyden arvosta ne vähennetään kerran pois:

${\displaystyle \mathrm {P} \left(A{\hbox{ tai }}B\right)=\mathrm {P} \left(A\right)+\mathrm {P} \left(B\right)-\mathrm {P} \left(A{\mbox{ ja }}B\right)}$.[1]

Jos kaksi tapahtumaa ${\displaystyle A}$ ja ${\displaystyle B}$ ovat riippumattomia tapahtumia, niin todennäköisyys sille, että sekä tapahtuma ${\displaystyle A}$ että tapahtuma ${\displaystyle B}$ sattuvat on

${\displaystyle P(A{\mbox{ ja }}B)=P(A\cap B)=P(A)P(B).\,}$ [1]

Esimerkiksi, jos kahta kolikkoa heitetään, niin todennäköisyys sille, että molemmat ovat kruunia, on ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {1}{2}}={\tfrac {1}{4}}}$.

Jos tapahtumat eivät ole riippumattomia, saadaan todennäköisyys

${\displaystyle P(A{\mbox{ ja }}B)=P(A\cap B)=P(A)P(B|A).\,}$ [1]

missä merkintä ${\displaystyle P(B|A)}$ tarkoittaa ehdollista todennäköisyyttä.

Tapahtuman ${\displaystyle B}$ ehdollinen todennäköisyys, on todennäköisyys tapahtumalle ${\displaystyle B}$ sillä ehdolla, että tapahtuma ${\displaystyle A}$ tapahtuu varmasti. Ehdollinen todennäköisyys merkitään ${\displaystyle P(B|A)}$, joka luetaan: ”tapahtuman ${\displaystyle B}$ todennäköisyys ehdolla ${\displaystyle A}$” ja se määritellään

${\displaystyle P(B\mid A)={\frac {P(B\cap A)}{P(A)}}.\,}$ [1]

Jos tapahtuman ${\displaystyle A}$ todennäköisyys on 0, eli ${\displaystyle P(A)=0}$, niin ${\displaystyle P(B\mid A)}$ ei ole määritelty, sillä nollalla ei saa jakaa.

Lisää todennäköisyyslaskennasta on artikkelissa todennäköisyysteoria.

• Satunnaisilmiö
• Alkeistapaus
• Tapahtuma
• Perusjoukko
• Satunnaismuuttuja
• Todennäköisyysfunktio
• Todennäköisyysjakauma

• Tuominen, Pekka: Todennäköisyyslaskenta I. Limes ry (1996).
• Elfving, Gustav & Tuominen, Pekka: Todennäköisyyslaskenta II. Limes ry (1990).
• Laininen, Pertti: Todennäköisyys ja sen tilastollinen soveltaminen. 5. korjattu painos. Helsinki: Otatieto, 2001 (7. painos 2004). ISBN 951-672-312-8.

• MathWorld. Probability
• MathWorld. Probability Measure
• MathWorld. Probability Function (Arkistoitu – Internet Archive)
• MathWorld. Conditional Probability
• MathWorld. Bayes' Theorem