Bonnen projektio

Bonnen projektio on kartioprojektioita muistuttava oikeapintainen karttaprojektio, josta toisinaan käytetään myös nimityksiä dépôt de la guerre,[1], muunnettu Flamsteed[1] tai Sylvanuksen projektio.[1] Se on saanut tunnetuimman nimensä Rigobert Bonnen (1727–1795) mukaan, mutta jo kauan ennen hänen aikaansa samantapaista projektiota olivat käyttäneet Sylvanus vuonna 1511, Honter vuonna 1561, De l'Isle ennen vuotta 1700 ja Coronelli vuonna 1696. Sekä Sylvanuksen että Honterin laatimat kartat olivat kuitenkin vain likimäärin Bonnen projektion mukaisia eikä ole selvää, oliko heillä tarkoituksenaan käyttää samaa projektiota.[2]

Bonnen projektion mukainen maailmankartta, standardileveyspiirinä 45°N.

Bernard Sylvanuksen maailmankartta vuodelta 1511

Matemaattisesti projektio voidaan määritellä yhtälöillä

${\displaystyle x=\rho \sin E\,}$

${\displaystyle y=\cot \varphi _{1}-\rho \cos E\,}$

missä

${\displaystyle \rho =\cot \varphi _{1}+\varphi _{1}-\varphi \,}$

${\displaystyle E={\frac {(\lambda -\lambda _{0})\cos \varphi }{\rho }}}$

ja φ on leveysaste, λ pituusaste, λ₀ kartan keskimeridiaanin pituusaste ja φ₁ projektiota luonnehtiva standardileveyspiiri.[3]

Leveyspiirit näkyvät kartassa samankeskisinä ympyränkaarina, ja etäisyydet niitä pitkin ovat oikeassa suhteessa. Kartan keskimeridiaanin ja standardileveyspiirin kohdalla myöskään alueiden muodot eivät vääristy.

Projektion käänteiskuvaus on

${\displaystyle \varphi =\cot \varphi _{1}+\varphi _{1}-\rho \,}$

${\displaystyle \lambda =\lambda _{0}+{\frac {\rho }{\cos \varphi }}\arctan \left({\frac {x}{\cot \varphi _{1}-y}}\right)}$

missä lauseke

${\displaystyle \rho =\pm {\sqrt {x^{2}+(\cot \varphi _{1}-y)^{2}}}}$

saa φ₁:n etumerkin.

Bonnen projektiota käytettiin useissa kartastoissa 1800-luvun lopulla ja 1900-luvun alussa varsinkin Pohjois-Amerikan, Euroopan, Aasian ja Australian kartoissa.[3] Suuri­mitta­kaavaisissa topo­grafi­kartoissa sitä on käytetty eräillä alueilla Ranskassa sekä Irlannissa, Marokossa ja eräissä itäisen Välimeren maissa,[3] mutta nykyisin poikittainen Mercatorin projektio on sen pitkälti syrjäyttänyt.[4]

Bonnen projektion erikois­tapauksia ovat sinusoidaalinen projektio, jossa φ₁ = 0 eli standardi­leveyspiirinä on päiväntasaaja, sekä Wernerin projektio, jossa φ₁ on 90° eli standardi­leveys­piirinä on pohjois- tai etelänapa. Muut Bonnen projektiot voidaan, samoin kuin toisaalta Bottomleyn projektiokin, käsittää sinusoidaalisen ja Wernerin projektion välimuodoiksi.[5]