Binomikerroin

Pascalin kolmion kuusi ensimmäistä riviä

Binomikertoimille pätevät seuraavat yleiset säännöt:

• ${\displaystyle {n \choose k}={n \choose n-k}}$
• ${\displaystyle {n \choose 0}={n \choose n}=1}$
• ${\displaystyle {n \choose 1}={n \choose n-1}=n}$
• Pascalin sääntö: ${\displaystyle {n+1 \choose k}={n \choose k-1}+{n \choose k}}$
• ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}=2^{n}}$

Pascalin sääntö osoittaa, että binomikertoimen arvot voidaan lukea Pascalin kolmiosta niin, että n vastaa kolmion rivinumeroa, ja k binomikertoimen järjestysnumeroa rivin reunasta laskien.

Nimitys binomikerroin johtuu siitä, että samat luvut esiintyvät myös kertoimina, kun binomi korotetaan kokonaislukupotenssiin ja saatu lauseke kehitetään polynomiksi, esimerkiksi:

${\displaystyle (a+b)^{2}={2 \choose 0}a^{2}+{2 \choose 1}ab+{2 \choose 2}b^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}$

${\displaystyle (a+b)^{3}={3 \choose 0}a^{3}+{3 \choose 1}a^{2}b+{3 \choose 2}ab^{2}+{3 \choose 3}b^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}}$

${\displaystyle (a+b)^{4}={4 \choose 0}a^{4}+{4 \choose 1}a^{3}b+{4 \choose 2}a^{2}b^{2}+{4 \choose 3}ab^{3}+{4 \choose 4}b^{4}=a^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4}}$

Korvaamalla kertoma gammafunktion avulla, voidaan binomikerroin laajentaa positiivisille reaaliluvuille ja joillekin negatiivisille reaaliluvuille määritellyksi. Negatiivinen binomikerroin on kuitenkin ${\displaystyle {-n \choose k}=(-1)^{k}{n+k-1 \choose k}=(-1)^{k}{\frac {(n+k-1)!}{k!(n-1)!}}}$.

Yleisesti on voimassa, että jos ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$, niin ${\displaystyle {\binom {\alpha }{n}}={\frac {\prod _{i=0}^{n-1}\left(\alpha -i\right)}{n!}}}$.[1]

Binomikertoimelle ${\displaystyle {n \choose k}}$ on voimassa seuraavat arviot:

• ${\displaystyle {n \choose k}\leq {\frac {n^{k}}{k!}}}$

• ${\displaystyle {n \choose k}\leq \left({\frac {n\cdot e}{k}}\right)^{k}}$

• ${\displaystyle {n \choose k}\geq \left({\frac {n}{k}}\right)^{k}}$

• Binomial Coefficient