Binomijakauma

Binomijakauma on dikotomisen toistokokeen lopputulosten lukumäärän jakauma.[1]

Binomijakauma

Todennäköisyysfunktio
Kertymäfunktio
Merkintä	B(n, p)
Parametrit	n ∈ N0 — kokeiden lukumäärä p ∈ [0,1] — kunkin kokeen onnistumistodennäköisyys
Määrittelyjoukko	k ∈ { 0, …, n } — onnistumisten lukumäärä
Pistetodennäköisyysfunktio	${\displaystyle \textstyle {n \choose k}\,p^{k}(1-p)^{n-k}}$
Kertymäfunktio	${\displaystyle \textstyle I_{1-p}(n-k,1+k)}$
Odotusarvo	np
Mediaani	⌊np⌋ tai ⌈np⌉
Moodi	⌊(n + 1)p⌋ tai ⌊(n + 1)p⌋ − 1
Varianssi	np(1 − p)
Vinous	${\displaystyle {\frac {1-2p}{\sqrt {np(1-p)}}}}$
Huipukkuus	${\displaystyle {\frac {1-6p(1-p)}{np(1-p)}}}$
Entropia	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\log _{2}{\big (}2\pi e\,np(1-p){\big )}+O\left({\frac {1}{n}}\right)}$
Momentit generoiva funktio	${\displaystyle (1-p+pe^{t})^{n}\!}$
Karakteristinen funktio	${\displaystyle (1-p+pe^{it})^{n}\!}$
Todennäköisyydet generoiva funktio	${\displaystyle G(z)=\left[(1-p)+pz\right]^{n}.}$
Fisherin informaatiomatriisi	${\displaystyle g(p,n)={\frac {n}{p(1-p)}}}$ (vain jatkuvan parametrin tapauksessa)

Binomijakauma on diskreetti. Jos satunnaismuuttuja ${\displaystyle X}$ on binomijakautunut, merkitään[1]

${\displaystyle X\sim \operatorname {Bin} (n,p).}$

Jakauman parametri ${\displaystyle 0\leq p\leq 1}$ on toisen lopputuloksen todennäköisyys, ja parametri ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ on toistojen lukumäärä. Jakauman arvojoukko on ${\displaystyle \{0,1,...,n\}}$. Pistetodennäköisyysfunktio on

${\displaystyle \operatorname {P} (X=i)={n \choose i}p^{i}(1-p)^{n-i}.}$

Odotusarvo ja varianssi ovat

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=np}$ ja ${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=np(1-p).}$

Jos ${\displaystyle X_{1}\sim \operatorname {Bin} (n_{1},p)}$ ja ${\displaystyle X_{2}\sim \operatorname {Bin} (n_{2},p)}$ sekä ${\displaystyle X_{1}}$ ja ${\displaystyle X_{2}}$ ovat riippumattomia, niin ${\displaystyle X_{1}+X_{2}\sim \operatorname {Bin} (n_{1}+n_{2},p)}$.

Binomijakauman yhteys Bernoullin jakaumaan on

${\displaystyle \operatorname {Bin} (1,p)=\operatorname {B} (p).}$