Bilineaarinen interpolaatio

Edellinen laskentamenetelmä ei sovellu tilanteisiin, jossa on tilattu bilineaarinen interpolaatio tiettyyn kolmion sisäpisteeseen. Siinä on ongelmana määrittää sivujen pisteet, jotta niiden lineaarinen interpolaatio voidaan suorittaa. Edullinen lähestymistapa on suorittaa kolmiolle affiinimuunnos suorakulmaiselle tasakylkiselle kolmiolle, jonka sivut ovat origon vieressä sijaitsevan yksikköneliön [0, 1]×[0, 1] sivuilla. Tätä kolmiota kututaan tässä yksikkökolmioksi ja sen kärkien koordinaatit ovat (0, 0), (1, 0) ja (0, 1).

Yksikkökolmion sisäpisteen (x, y) interpoloitua arvoa merkitään tässä f(x, y). Merkitään kolmion kärkien tunnetut funktion arvot f(0, 0) = f₀₀,f(0, 1) = f₀₁ ja f(1, 0) = f₁₀. Kohtisuorilla sivuilla suoritetut lineaarit interpoloinnit tuottavat arvot f(a, 0) = f_a0 ja f(0, b) = f_0b seuraavasti

${\displaystyle f_{a0}\approx f_{00}+(f_{10}-f_{00})a}$

${\displaystyle f_{0b}\approx f_{00}+(f_{01}-f_{00})b}$

Kun interpoloidaan haluttua pistettä f(x, y) = f_xy, kannattaa interpolointiin valita kolmion hypotenuusan suuntainen suora, koska sen päätepisteet ovat yhtä etäällä origosta. Mainittu etäisyys pisteen (x, y) interpoloimiseksi on a = b = x + y. Edelliset tulokset kirjoitetaan silloin

${\displaystyle f_{(x+y)0}\approx f_{00}+(f_{10}-f_{00})(x+y)}$

${\displaystyle f_{0(x+y)}\approx f_{00}+(f_{01}-f_{00})(x+y).}$

Koska pisteen (x, y) etäisyys päätepisteestään hypotenuusan suuntaisella suoralla on verrannollinen koordinaatin x ja matkan x + y suhteeseen, voidaan haluttu interpolaatio kirjoittaa (pisteestä (0, x + y) lukien)

${\displaystyle f_{xy}=f(x,y)\approx f_{0(x+y)}+(f_{(x+y)0}-f_{0(x+y)}){\frac {x}{x+y}}.}$

Vaikka pinnansovitus ei ole billineaarista interpolointia, voidaan asiaa sivuta myös tässä. Menetelmän tuottaman pinnan laatu selviää, kun sieventää edellisen laskelman viimeinen lauseke:

${\displaystyle f_{xy}=f(x,y)\approx f_{00}+(f_{10}-f_{00})x+(f_{01}-f_{00})y.}$

Interpolaatiopisteet muodostavat (lausekkeen muodon mukaisesti) tason, jossa kolmion sisäpisteen arvo saadaan yhtälöstä

${\displaystyle f(x,y)\approx a_{00}+a_{10}x+a_{01}y,}$ [4]

missä vakiot ovat

${\displaystyle a_{00}=f_{00}}$,

${\displaystyle a_{10}=f_{10}-f_{00}}$ ja

${\displaystyle a_{01}=f_{01}-f_{00}.}$

Interpoloidan bilineaarisesti origosta alkavan yksikköneliön, eli alueen [0, 1]×[0, 1], sisäpisteen (x, y) arvo f(x, y). Merkitään neliön kärjissä sijaitsevat funktion arvot f(0, 0) = f₀₀,f(0, 1) = f₀₁, f(1, 0) = f₁₀ ja f(1, 1) = f₁₁. Vaakasuorilla sivuilla suoritetut lineaarit interpoloinnit tuottavat arvot f(x, 0) = f_x0 ja f(x, 1) = f_x1 seuraavasti

${\displaystyle f_{x0}\approx f_{00}+(f_{10}-f_{00})x,}$

${\displaystyle f_{x1}\approx f_{01}+(f_{11}-f_{01})x.}$

Kun interpoloidaan pystysuoraan f(x, y) = f_xy, saadaan

${\displaystyle f_{xy}=f(x,y)\approx f_{x0}+(f_{x1}-f_{x0})y.}$

Valitaan suorakulmiosta yksi sivu ja sivulta piste. Lasketaan tämän pisteen arvo lineaarisella interpolaatiolla sivunsa päätepisteiden avulla. Piirretään sivun pisteestä normaali suorakulmion vastakkaiselle sivulle. Normaalin leikkauspiste vastakkaisen sivun kanssa on seuraavan interpolaation kohde. Se suoritetaan vastakkaista sivua pitkin. Kun molempien pisteiden interpoloidut arvot tunnetaan, voidaan pisteiden väliset suorakulmion sisäpisteet interpoloida lineaarisesti.[1]

Interpoloidaan bilineaarisesti pisteessä (x, y) olevaa arvoa suorakulmion kärjissä (viereinen kuva) Q₁₁ = (x₁, y₁), Q₁₂ = (x₁, y₂), Q₂₁ = (x₂, y₁), and Q₂₂ = (x₂, y₂) olevien arvojen f(x₁, y₁) = f₁₁, f(x₁, y₂) = f₁₂, f(x₂, y₁) = f₂₁ ja f(x₂, y₂) = f₂₂ avulla (viereinen kuva).

Aluksi interpoloidaan lineaarisesti x-akselin suuntaan. Kohdassa x, ylä- ja alasivulla, sijaitsevat pisteet R₁ = (x, y₁) ja R₂ = (x, y₂). Näihin pisteisiin interpoloidaan arvot f(x,  y₁) = f_x1 ja f(x,  y₂) = f_x2

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{x1}=f(x,y_{1})&\approx {\frac {x_{2}-x}{x_{2}-x_{1}}}f_{11}+{\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}f_{21}\\f_{x2}=f(x,y_{2})&\approx {\frac {x_{2}-x}{x_{2}-x_{1}}}f_{12}+{\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}f_{22}\end{aligned}}}$

Viimeisessä vaiheessa interpoloidaan lineaarisesti pisteen P = (x, y) arvo f(x, y)

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x,y)&\approx {\frac {y_{2}-y}{y_{2}-y_{1}}}f(x,y_{1})+{\frac {y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}}f(x,y_{2})\\&\approx {\frac {y_{2}-y}{y_{2}-y_{1}}}\left({\frac {x_{2}-x}{x_{2}-x_{1}}}f_{11}+{\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}f_{21}\right)+{\frac {y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}}\left({\frac {x_{2}-x}{x_{2}-x_{1}}}f_{12}+{\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}f_{22}\right)\\&={\frac {1}{(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})}}\left(f_{11}(x_{2}-x)(y_{2}-y)+f_{21}(x-x_{1})(y_{2}-y)+f_{12}(x_{2}-x)(y-y_{1})+f_{22}(x-x_{1})(y-y_{1})\right)\end{aligned}}}$

Nelikulmaisessa bilineaarisessa interpoloinnissa syntyy pinta, jonka laatu selviää sieventämällä edellisiä lausekkeita. Nisstä saadaan

${\displaystyle f_{xy}=f(x,y)\approx f_{00}+(f_{10}-f_{00})x+(f_{01}-f_{00})y+(f_{11}-f_{01}-f_{10}+f_{00})xy.}$

Tämä yhtälö voidaan kirjoittaa kompaktiin muotoon sijoittamalla muuttujien eteen vain kertoimet

${\displaystyle f(x,y)\approx a_{00}+a_{10}x+a_{01}y+a_{11}xy,}$ [4]

missä kertoimet ovat

${\displaystyle a_{00}=f_{00}}$ ja

${\displaystyle a_{10}=f_{10}-f_{00}}$ ja

${\displaystyle a_{01}=f_{01}-f_{00}}$ ja

${\displaystyle a_{11}=f_{11}-f_{01}-f_{10}+f_{00}.}$

Muodostunutta pintaa kutsutaan hyperboliseksi paraboloidiksi, mikä se yleisesti onkin. Joskus funktion arvot ovat sellaiset, että pinta onkin taso.

Vaikka pinnansovitus ei ole bilineaarinen interpolaatio, esitetään vaihtoehtoisena ratkaisutapana samassa yhteydessä. Kun valitaan tasolta mitkä tahansa neljä kulmapistettä ${\displaystyle \scriptstyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{1}),(x_{1},y_{2}){\text{ ja }}(x_{2},y_{2}),}$ voidaan niiden kautta sovittaa kulkemaan tasopinta

${\displaystyle f(x,y)=ax+by+cxy+d.}$

Tasopinnan lausekkeen kertoimet voidaan määrittää ratkaisemalla yhtälöryhmä, jossa lausekkeeseen on sijoitettu koordinaatit ja jossa funktion arvoiksi merkitään kulmapisteiden funktion arvot. Yhtälöryhmä on tällöin

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}f(x_{1},y_{1})=ax_{1}+by_{1}+cx_{1}y_{1}+d\\f(x_{2},y_{1})=ax_{2}+by_{1}+cx_{2}y_{1}+d\\f(x_{1},y_{2})=ax_{1}+by_{2}+cx_{1}y_{2}+d\\f(x_{2},y_{2})=ax_{2}+by_{2}+cx_{2}y_{2}+d\end{matrix}}\right.}$