Besselin funktiot

Ensimmäisen lajin Besselin funktiot ${\displaystyle J_{0},J_{1}}$ ja ${\displaystyle J_{2}}$.

Ensimmäisen lajin Besselin funktio voidaan kirjoittaa potenssisarjana

${\displaystyle J_{n}(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(x/2)^{n+2k}}{k!\Gamma (n+k+1)}}}$

Tässä esiintyvä funktio ${\displaystyle \Gamma }$ on myös erikoisfunktioihin kuuluva gammafunktio ja ! tarkoittaa kertomaa. Tilanteessa, jossa ${\displaystyle n<0}$

${\displaystyle J_{-n}(x)=(-1)^{n}J_{n}(x)\,}$.

Jos ${\displaystyle n}$ on kokonaisluku, funktiot voidaan määritellä integraalina

${\displaystyle J_{n}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\cos(nt-x\sin t)dt}$.

Besselin funktioille on voimassa muutamia rekursiokaavoja. Näiden käyttö on yleensä kätevää.

${\displaystyle J_{n+1}(x)={\frac {2n}{x}}J_{n}(x)-J_{n-1}(x)}$

${\displaystyle J_{n}'(x)={\frac {1}{2}}(J_{n-1}(x)-J_{n+1}(x))}$

${\displaystyle xJ_{n}'(x)=nJ_{n}(x)-xJ_{n+1}(x)\,}$

${\displaystyle (x^{n}J_{n}(x))'=x^{n}J_{n-1}(x)\,}$

${\displaystyle (x^{-n}J_{n}(x))'=-x^{-n}J_{n+1}(x)\,}$

Toisen lajin Besselin funktiot ${\displaystyle Y_{0},Y_{1}}$ ja ${\displaystyle Y_{2}}$

Toisen lajin Besselin funktiot tunnetaan myös Weberin funktioina tai Neumannin funktioina. Ne voidaan lausua trigonometristen funktioiden ja ensimmäisen lajin Besselin funktioiden avulla

${\displaystyle Y_{n}(x)={\frac {J_{n}(x)\cos(n\pi )-J_{-n}(x)}{\sin(n\pi )}},\;n\neq 0,1,2,\ldots }$

ja kokonaislukuindeksille ${\displaystyle n=0,1,2,\ldots }$

${\displaystyle Y_{n}(x)=\lim _{h\rightarrow n}{\frac {J_{h}(x)\cos(h\pi )-J_{-h}(x)}{\sin(h\pi )}}}$

Myös toisen lajin Besselin funktioille on voimassa

${\displaystyle Y_{-n}(x)=(-1)^{n}Y_{n}(x)\,}$.

Samoin yllä mainitut rekursiokaavat ovat voimassa toisen lajin funktioille sellaisenaan.

Aaltojen etenemistä tutkittaessa törmätään Hankelin funktioihin. Ne ovat kompleksisia funktioita, joiden reaaliosa on ensimmäisen ja imaginääriosa toisen lajin Besselin funktio. Näille ovat voimassa

${\displaystyle H_{n}^{(1)}(x)=J_{n}(x)-iY_{n}(x)\,}$

${\displaystyle \;H_{n}^{(2)}(x)=J_{n}(x)+iY_{n}(x)\,}$

Hankelin funktiot voidaan lausua ensimmäisen lajin Besselin funktioiden avulla ei-kokonaislukuindeksille ${\displaystyle n}$

${\displaystyle H_{n}^{(1)}(x)={\frac {J_{-n}(x)-e^{-n\pi i}J_{n}(x)}{i\sin(n\pi )}}}$

${\displaystyle H_{n}^{(1)}(x)={\frac {J_{-n}(x)-e^{n\pi i}J_{n}(x)}{-i\sin(n\pi )}}}$.

Kokonaislukuindeksille yllä olevista kaavoista on laskettava ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow k},\;k=0,1,2,\ldots }$. Negatiivisille ${\displaystyle n}$:n arvoille

${\displaystyle H_{-n}^{(1)}(x)=e^{n\pi i}H_{n}^{(1)}(x)}$

${\displaystyle H_{-n}^{(2)}(x)=e^{-n\pi i}H_{n}^{(2)}(x)}$

• Jalava, Väinö: Johdatus funktionaalianalyysiin. Moniste 95. Tampere: TTKK, 1983. ISBN 951-720-831-6.
• Laasonen, Pentti: Matemaattisia erikoisfunktioita. Moniste 261. Otaniemi: TKK, 1971.

• Tietopaketti Besselin funktioista (englanniksi)
• Wolfram Mathworld: Bessel Function of the First Kind (englanniksi)
• Wolfram Mathworld: Bessel Function of the Second Kind (englanniksi)