Begriffsschrift

Fregen käyttämä propositiokalkyylin merkintätapa:
a) konditionaali
b) negaatio
c) konjunktio
d) disjunktio

Fregen käyttämä predikaattikalkyylin merkintätapa:
a) universaalikvanttori
b) eksistenssikvanttori

Fregen järjestelmä vastaa nykyaikaista toisen kertaluvun logiikkaa, ja se esitteli kvantifioidut muuttujat ja kvanttorit logiikkaan ensimmäisen kerran. Fregen käyttämä merkintätapa poikkesi kuitenkin nykyisestä huomattavasti: hän käytti hyvin idiosynkraattista kaksiulotteista merkintätapaa, jossa konnektiivit ja kvanttorit on piirretty kaavoja yhdistävillä viivoilla, kun nykyään ne merkitään puolestaan sellaisilla symboleilla kuin ¬, ∧, ∨, ∃ ja ∀. Esimerkiksi implikaatio ”B implikoi A:n” eli ${\displaystyle B\rightarrow A}$ merkittiin Fregen merkintätavalla .

Ensimmäisessä luvussa Frege määritteli perusajatukset ja merkintätavat, kuten väittämä, universaalikvanttori, konditionaali, negaatio ja "merkki sisällön identiteettisyydelle" eli ekvivalenssi ${\displaystyle \equiv }$.

Esimerkiksi konditionaalin Frege määritteli seuraavasti (luku I, §5):

"Viitatkoon A ja B tunnettuun sisältöön, tällöin neljä mahdollisuutta ovat:

Merkitköön

├────┬── A
     │
     └── B

sitä, ettei kolmas näistä vaihtoehdoista vallitse, mutta yksi kolmesta muusta vallitsee. Joten jos negatoimme :n, silloin kolmas vaihtoehdoista on pätevä, eli kiellämme A:n ja väitämme B."

Toisessa luvussa Frege määritteli yhdeksän väittämistään, väittämät 1, 2, 8, 28, 31, 41, 52, 54 ja 58, aksioomiksi, sanomalla niiden — sellaisina kuin ne on tarkoitettu ymmärrettäviksi — ilmaisevan totuuksia. Nykyaikaisella merkintätavalla ilmaistuna hänen aksioomansa olivat:

1. ${\displaystyle \vdash \ \ A\rightarrow \left(B\rightarrow A\right)}$
2. ${\displaystyle \vdash \ \ \left[\ A\rightarrow \left(B\rightarrow C\right)\ \right]\ \rightarrow \ \left[\ \left(A\rightarrow B\right)\rightarrow \left(A\rightarrow C\right)\ \right]}$
3. ${\displaystyle \vdash \ \ \left[\ D\rightarrow \left(B\rightarrow A\right)\ \right]\ \rightarrow \ \left[\ B\rightarrow \left(D\rightarrow A\right)\ \right]}$
4. ${\displaystyle \vdash \ \ \left(B\rightarrow A\right)\ \rightarrow \ \left(\lnot A\rightarrow \lnot B\right)}$
5. ${\displaystyle \vdash \ \ \lnot \lnot A\rightarrow A}$
6. ${\displaystyle \vdash \ \ A\rightarrow \lnot \lnot A}$
7. ${\displaystyle \vdash \ \ \left(c=d\right)\rightarrow \left(f(c)=f(d)\right)}$
8. ${\displaystyle \vdash \ \ c=c}$
9. ${\displaystyle \vdash \ \ \left(\ \forall a:f(a)\ \right)\ \rightarrow \ f(c)}$

Aksioomat (1)-(3) määrittävät implikaation. (4)-(6) määrittävät negaation. (7) ja (8) määrittävät identiteetin; (7) on Leibnizin laki; (8) sanoo, että identiteetti on refleksiivinen. (9) määrittää universaalikvanttorin. Kaikki muut väittämät todistettiin dedusoimalla näistä aksioomista.

Begriffschrifft käytti kolmea päättelysääntöä. Kaksi niistä, modus ponens ja yleistyssääntö, ovat eksplisiittisiä, kun taas korvaussääntöä ei ole määritelty eksplisiittisesti. Modus ponensin avulla voidaan johtaa ${\displaystyle \vdash B}$ lauseista ${\displaystyle \vdash A\to B}$ ja ${\displaystyle \vdash A}$. Yleistyssäännön avulla voidaan johtaa ${\displaystyle \vdash P\rightarrow \forall x:A(x)}$ lauseesta ${\displaystyle \vdash P\to A(x)}$, jos muuttuja 'x' ei esiinny 'P':ssä. Korvaussääntö on paljon monimutkaisempi, ja Frege käyttää sitä tavoilla, joiden pätevyys ei ole ilmiselvää.

Kolmas luku käsittelee sarjateoriaa. Sen tulokset ovat selvästi tarkoitettuja käytettäväksi Fregen myöhemmässä aritmetiikan perusteiden tutkimustyössä.