Banachin tulitikkuongelma

Olkoon vasemman taskun valinta ”onnistuminen” ja oikean taskun valinta ”epäonnistuminen”. Huomataan, että vasemman taskun rasia on tyhjä hetkellä, kun oikean taskun rasiassa on täsmälleen k tikkua jos ja vain jos täsmälleen N−k epäonnistumista tapahtuu ennen onnistumista N+1. Taskun valinnan todennäköisyys on p = 1/2, joten saamme negatiivisella binomijakaumalla todennäköisyydeksi

${\displaystyle P[X=N-k]={\binom {2N-k}{N}}\left({\frac {1}{2}}\right)^{2N-k+1}}$.

Sama todennäköisyys pätee myös sille, että oikean taskun ollessa tyhjä vasemmassa on k tikkua. Täytyy siis laskea tapaukset yhteen, joten vaadittu todennäköisyys on

${\displaystyle 2P[X=N-k]={\binom {2N-k}{N}}\left({\frac {1}{2}}\right)^{2N-k}}$.

Numeerisia arvoja, kun alkuperäinen tulitikkumäärä on ${\displaystyle N=50}$, nähdään seuraavasta taulukosta. ${\displaystyle p_{k}}$ on todennäköisyys sille, että rasiassa on ${\displaystyle k}$ tikkua. ${\displaystyle \Sigma p_{k}=p_{0}+...+p_{k}}$ on todennäköisyyksien summa.

k	${\displaystyle p_{k}}$	${\displaystyle \Sigma p_{k}}$		k	${\displaystyle p_{k}}$	${\displaystyle \Sigma p_{k}}$		k	${\displaystyle p_{k}}$	${\displaystyle \Sigma p_{k}}$
0	0,079 589	0,079 589		17	0,015 447	0,952 469		34	0,000 012	0,999 981
1	0,079 589	0,159 178		18	0,012 283	0,964 752		35	0,000 006	0,999 987
2	0,078 785	0,237 963		19	0,009 587	0,974 338		36	0,000 003	0,999 999
3	0,077 177	0,315 140		20	0,007 338	0,981 676		37	0,000 001	0,999 999
4	0,074 790	0,389 931		21	0,005 504	0,987 180		38	<0,000001	0,999 999
5	0,071 674	0,461 605		22	0,004 041	0,991 220		39	<0,000001	0,999 999
6	0,067 902	0,529 506		23	0,002 901	0,944 121		40	<0,000001	0,999 999
7	0,063 568	0,593 073		24	0,002 034	0,996 155		41	<0,000001	0,999 999
8	0,058 671	0,651 855		25	0,001 392	0,997 547		42	<0,000001	0,999 999
9	0,053 671	0,705 527		26	0,000 928	0,998 475		43	<0,000001	0,999 999
10	0,048 363	0,753 890		27	0,000 602	0,999 077		44	<0,000001	0,999 999
11	0,042 989	0,796 879		28	0,000 379	0,999 456		45	<0,000001	0,999 999
12	0,037 676	0,834 555		29	0,000 232	0,999 688		46	<0,000001	0,999 999
13	0,032 538	0,867 094		30	0,000 137	0,999 825		47	<0,000001	0,999 999
14	0,027 676	0,894 770		31	0,000 078	0,999 903		48	<0,000001	0,999 999
15	0,023 171	0,917 941		32	0,000 043	0,999 946		49	<0,000001	0,999 999
16	0,019 081	0,937 022		33	0,000 023	0,999 969		50	<0,000001	1,0

• Stefan Banach
• Banachin avaruus
• Banachin kiintopistelause
• Banachin–Tarskin paradoksi

• Java-sovellus