Alkulukufunktio

1700-luvulla löysivät Gauss ja Legendre että

${\displaystyle x/\operatorname {ln} (x)\!}$

on hyvä approksimaatio alkulukufunktiolle; tarkemmin,

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)}{x/\operatorname {ln} (x)}}=1.\!}$

Tämä lauseke tunnetaan alkulukulauseena; se todistettiin 1800-luvun lopulla oikeaksi. Väite voidaan kirjoittaa yhtäpitävästi muodossa

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)}{\operatorname {li} (x)}}=1,}$

jossa ${\displaystyle \operatorname {li} (x)}$on logaritminen integraalifunktio.

John Littlewood todisti 1914 että on olemassa mielivaltaisen suuria lukuja x, joille

${\displaystyle \pi (x)>\operatorname {li} (x)+{\frac {1}{3}}{\frac {\sqrt {x}}{\log x}}\log \log \log x}$

ja mielivaltaisen suuria lukuja x, joille

${\displaystyle \pi (x)<\operatorname {li} (x)-{\frac {1}{3}}{\frac {\sqrt {x}}{\log x}}\log \log \log x.}$

Tästä seuraa että erotuksen π(x) − li(x) merkki vaihtuu äärettömän usein.

Riemannin hypoteesi on ekvivalentti seuraavaan kaavaan:

${\displaystyle \pi (x)=\operatorname {li} (x)+O({\sqrt {x}}\log {x}).}$

Riemannin hypoteesi siis antaisi alkulukufunktion antamalle arviolle alkulukujen määrästä huomattavasti nykyistä tiukemmat virherajat.