Alkeistapaus

Esimerkiksi kolikonheitossa alkeistapauksina voi esiintyä "kruuna" tai "klaava". Vaikka kolikko voi asettua vaikkapa reunallensa, ei tätä asentoa hyväksytä tapaukseksi, vaan heittäjää pyydetään heittämään kolikkoaan uudelleen. Perusjoukko sisältää siten vain kaksi alkeistapausta ${\displaystyle \Omega =\{kruuna,klaava\}.}$[2][5][9]

Esimerkiksi nopanheitossa (arpakuutio) kaikki mahdolliset alkeistapaukset ovat ${\displaystyle \Omega =\{1,2,3,4,5,6\},}$ jos silmäluvut muutetaan ensin luvuiksi. Kortinnostossa korttipakasta, jossa on 52 pelikorttia, jokainen kortti edustaa omaa alkeistapausta. Kortit on merkitty samanaikaisesti kahdella tavalla (maa ja numero), jotka yhdessä muodostavat kortinnostossa alkeistapauksen arvon. Rulettipöydän alkeistapaus on tunnus (väri ja numero) siinä lokerossa, mihin pallo asettuu.[2][5][9]

Kahden kolikon heitossa alkeistapauksiksi ei valita kolikoiden tulokset erikseen vaan ne yhdistetään pariksi. Koska kumpikin kolikko saa kaksi arvoa, on perusjoukossa 2×2 = 4 alkeistapausta, jotka ovat lueteltuina ${\displaystyle \scriptstyle \{(kr,kr),(kr,kl),(kl,kr),(kl,kl)\}.}$ Kahden nopan alkeistapaukset saadaan vastaavalla tavalla: ${\displaystyle \scriptstyle \{(1,1),(1,2),(1,3),...,(6,5),(6,6)\}.}$ Siinä on yhteensä 36 alkeistapausta. Vaihtoehtojen lukumäärä kasvaa esimerkiksi kortinpeluussa, jossa pelaajien kädessä on aina viisi korttia. Montako "kättä" eli viiden kortin muodostelmaa on mahdollista muodostaa 52 kortin pakasta?[2]

Koska tapausten arvot ovat erillisiä arvoja, kuten kokonaislukuja, kutsutaan niitä diskreeteiksi eli erillisiksi. Diskreettien tapausten perusjoukko voi olla kooltaan äärellinen tai numeroituvasti ääretön.[2]

Esimerkiksi ihmisen paino on jatkuva-arvoinen alkeistapaus eli painon ulostulo, kun valitaan ihmisjoukosta satunnaisesti ihminen ja punnitaan hänet hyvin tarkasti. Painon ulostulo on silloin reaaliluku, joka voi olla (ainakin periaatteessa) mikä tahansa luku nollan ja 1000 kilogramman väliltä. Kahden eri ihmisen painot voisivat olla mielivaltaisen lähellä toisiaan, jonka vuoksi alkeistapauksilla on samat ominaisuudet kuin reaaliluvuilla. Jos ihmisen paino esitetään pyöristettynä kilogramman tarkkuuteen, saadaan punnituksen tulokseksi diskreettiset alkeistapaukset.[2]

Muita jatkuvia tapauksia voisivat olla esimerkiksi tikan osumakohta seinällä, malmin pitoisuus kallion tietyssä kohdassa ja ihmisen älykkyysosamäärä. Koska jatkuvat tapaukset voidaan kuvata reaaliluvuilla, on perusjoukon koko ylinumeroituvasti ääretön.[5]

Pääartikkeli: Todennäköisyys

Satunnaisilmiön alkeistapaus voi esiintyä todennäköisyydellä (merkitään usein ${\displaystyle p}$ tai ${\displaystyle P}$), joka on nollan ja ykkösen väliltä (rajat mukaan luettuina) eli ${\displaystyle 0\leq p\leq 1}$. Äärellisessä ja diskreettisessä tilanteessa, missä perusjoukon koko on äärellinen, perusjoukon kullekin alkeistapaukselle liitetään todennäköisyyden arvo. Diskreetin alkeistapauksen todennäköisyyttä kutsutaan pistetodennäköisyydeksi. Kaikkiin alkeistapauksiin liittyvää todennäköisyystaulukkoa kutsutaan todennäköisyysjakaumaksi.[2][5][13]

Jatkuvassa tapauksessa kunkin ulostulon eli alkeistapauksen todennäköisyys on aina nolla, sillä alkeistapauksia on ylinumeroituva määrä. Todennäköisyyksiä voidaan siinä tapauksessa liittää vain tapahtumille. Todennäköisyyslaskennan mittateoreettisessä todennäköisyysavaruudessa kaikkien tapahtumien todennäköisyyksiä ei tarvitse tuntea. Riittää, kun tietää perusjoukon potenssijoukon ${\displaystyle \sigma }$-algebran (lue "sigma-algebra) muodastavan osajoukon todennäköisyydet siten.[2]

Tiettyissä satunnaisilmiöissä voidaan olettaa, että perusjoukon alkeistapaukset esiintyisivät yhtä usein. Tapaukset ovat silloin symmetrisiä ja niihin liitettävät todennäköisyydet ovat yhtä suuret. Näin menetellään esimerkiksi kolikonheitossa, noppapeleissä ja muissa satunnaisuuteen perustuvien pelien kohdalla. Arpomisvälineet valmistetaan geometrisesti ja fysikaalisesti niin symmetrisiksi, että todennäköisyydet ovat muutaman desimaalin tarkkuudella samat. Näin saadaan diskreettisessä tilanteessa tasainen jakauma. Klassisessa todennäköisyyslaskennassa teorian perustana onkin symmetriset alkeistapaukset.[1][2][7][14]