Algebrallinen sulkeuma

Matemaattisen kunnan algebrallinen sulkeuma on kuntalaajennusten teorian perusasioita.

Olkoon ${\displaystyle L/K}$ kuntalaajennus. Jos ${\displaystyle a,b}$ ovat algebrallisia yli ${\displaystyle K}$:n (ks. algebrallinen laajennus), niin voidaan helposti osoittaa, että myös ${\displaystyle a+b}$, ${\displaystyle a-b}$, ${\displaystyle ab}$ ja (jos ${\displaystyle b\neq 0}$) ${\displaystyle a/b}$ ovat algebrallisia. Siis kunnan ${\displaystyle L}$ osajoukko ${\displaystyle AS}$ = {a | a on algebrallinen yli ${\displaystyle K}$:n} on kunta, ja siis laajennuksen ${\displaystyle L/K}$ välikunta.

Kuntaa ${\displaystyle AS}$ sanotaan kunnan ${\displaystyle K}$ algebralliseksi sulkeumaksi. Zornin lemman avulla voidaan osoittaa, että jokaisella kunnalla on olemassa algebrallinen sulkeuma.