Abelin lause

Olkoon

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}(x-x_{0})^{k}\!}$

potenssisarja, missä ${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},...\!}$ ja ${\displaystyle x_{o}\!}$ ovat reaalilukuisia vakioita ja ${\displaystyle x_{0}\!}$ sarjan kehityskeskus.

Abelin lauseen mukaan:

i) Jos potenssisarja suppenee eräällä ${\displaystyle x=x_{1}\neq x_{0}\!}$, niin se suppenee itseisesti jokaisella reaaliluvulla ${\displaystyle x\!}$, jolle ${\displaystyle |x-x_{o}|<|x_{1}-x_{0}|\!}$, eli joka on lähempänä lukua ${\displaystyle x_{0}\!}$ kuin luku ${\displaystyle x_{1}\!}$.

ii) Jos potenssisarja ei suppene itseisesti eräällä ${\displaystyle x=x_{2}\!}$, niin se hajaantuu jokaisella reaaliluvulla ${\displaystyle x\!}$, jolle ${\displaystyle |x-x_{o}|>|x_{2}-x_{0}|\!}$, eli joka on kauempana luvusta ${\displaystyle x_{0}\!}$ kuin luku ${\displaystyle x_{2}\!}$.

• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus. Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry, 2015. ISBN 978-952-7010-12-9.