0 (luku)

Luvun desimaaliesityksen paikkamerkinnässä nolla ilmaisee puuttuvaa kymmenpotenssikerrointa. Esimerkiksi luvussa 4206 nollalla on merkitty kymmenien lukumäärää. Luku muodostetaan siten, että lasketaan yhteen 4 tuhatta, 2 sataa ja 6. Kymmeniä ei luvun muodostamiseen tarvita, joten niiden lukumäärää merkitään nollalla.

Monissa muinaisissa paikkamerkintää käyttävissä lukujärjestelmissä ei nollaa aina käytetty. Muun muassa babylonialaiset luvut kirjoitettiin jättämällä tyhjä paikka puuttuvalle kertoimelle.

Luonnollisen luvun määritelmässä ei oteta nollaa aina mukaan, mutta joskus näin tehdään. Nolla on suurin ei-positiivinen luku ja pienin ei-negatiivinen luku. Nolla itse ei ole positiivinen eikä negatiivinen.

Nolla on parillinen luku. Nolla on myös ainoa luku, joka on sekä reaaliluku että imaginaariluku, koska ${\displaystyle \scriptstyle 0=0i}$.

Yhteenlaskussa toinen operandi voi olla nolla. Nolla ei vaikuta summaan, joka saa toisen operandin arvon. Nollaa kutsutaankin yhteenlaskussa neutraalialkioksi.

${\displaystyle a+0=0+a=a}$

Vähennyslaskussa nolla liittyy vastaluvun käsitteeseen.

${\displaystyle a-0=a{\text{ sekä }}0-a=-a}$

Kun kertolaskussa toinen operandi on nolla, saadaan tuloksi nolla.

${\displaystyle a\cdot 0=0\cdot a=0}$

Jakolaskussa nolla voi olla vain osoittajana.

${\displaystyle {\frac {0}{a}}=0}$

Jos nolla asetetaan nimittäjäksi, on tulos määrittelemätön. Potenssimerkinnässä sallitaan kaksi nollan käyttötapaa.

${\displaystyle 0^{a}=0{\text{ ja }}a^{0}=1}$

Jos molemmat ovat nollia, on tulos määrittelemätön. Nollan kertoma eli

${\displaystyle 0!=1}$

määritelmän mukaan.

Varhaisimmissa lukujärjestelmissä ei ollut nollan merkkiä. Luvut ilmaistiin sanallisesti, ja ne vastasivat kysymyksiin, kuten "kuinka monta halkoa olemme kasanneet". Nollaa vastaava ilmaisu olisi "ei yhtään".

Nollamerkin erityinen arvo paljastuu siitä, että ilman nollaa tarkoittavaa merkkiä laskemisessa ei voitu soveltaa paikkamerkintää, missä numerosymbolin lisäksi numeron sijainti suhteessa muihin osoitti sen arvoa. Esimerkiksi kantalukuun 10 perustuvassa järjestelmässä paikkamerkintä "1234" tarkoittaa lukua, joka saadaan laskemalla 1•10³ + 2•10² + 3•10¹ + 4•10⁰. Toisin kuin paikkamerkintään perustuvilla symboleilla, roomalaisten käyttämillä lukujen kirjainsymboleilla voitiin tehdä vain päässälaskuja, jossa luvut ensin sanallistettiin. Vielä paikkamerkinnän käyttöönoton jälkeenkin jäi tavaksi esittää matemaattiset ratkaisut sanallisesti eikä numeraalisilla laskutoimituksilla. Näin teki vielä al-Khwarizmi (n. 800–840), joka oli ensimmäinen islaminuskoinen paikkamerkkijärjestelmää esitellyt matemaatikko.[1][2] Syynä saattoi olla se, että paperin sijaan käytettiin vielä pitkään pieniä vahatauluja, joihin merkittiin vain sormilla tai ulkomuistista tehtyjen laskutoimitusten lopputulos.[3]

Carl Boyer kirjoittaa matematiikan historiassaan, että babylonialaiset keksivät lukujen paikkamerkinnän jo noin 4 000 vuotta sitten. Luku 2 ilmaistiin kahdella nuolisymbolilla ↑↑. Luku ↑↑ ↑↑ ↑↑ sisälsi kaksi tyhjää väliä, jotka erottivat lukujen paikkoja. Koska kantalukuna oli 60, oikealla oleva ryhmä tarkoitti kahta ykköstä, keskimmäinen ryhmä kantaluvun kaksinkertaista arvoa ja vasen ryhmä kantaluvun neliötä, mistä saadaan 2(60)${\displaystyle ^{2}}$ + 2(60) + 2, mikä 10-lukujärjestelmässä vastaa lukua 7322. Babylonialaisilla ei ollut selkeää tapaa merkitä tyhjää paikkaa eikä merkkiä nollalle. Aleksanteri Suuren valloitusretken aikoihin 300 eaa. keksittiin käyttää tyhjän merkkinä kahta vinokiilaa, mutta sillä merkittiin vain lukujen keskellä olevat nollat. Babylonialaisten paikkamerkintä ei siten ollut täydellistä.[4]

Esimerkki nollasta kreikkalaisesta käsikirjoituksesta noin 200 jaa. Nollamerkki löytyy tekstin oikeasta alakulmasta.

Aristoteles tunsi nollan tai tyhjän käsitteen mutta ei pitänyt sitä tarpeellisena. Hänen mukaansa nolla ja ääretön olivat käsitteitä, jotka liittyivät lukuihin mutta eivät olleet lukuja. Aristoteleen mukaan ei voi olla nolla jotakin; nolla jostakin tarkoittaa, että ei ole mitään jostakin. Tällöin ei ole mitään. Aristoteles perusteli nollan hyödyttömyyttä myös sillä, että nollaan ei ikinä päädytä jakamalla. Tavaroita voi jakaa siten, että joku saa 1:n tai jopa murto-osia 1:stä, mutta ei nollaa.^lähde?

Ptolemaios Aleksandrialaisen jännetaulukoissa 130 jaa. osana kuusikymmenlukujärjestelmää esiintyy myös nollan symboli. Muita lukuja merkittiin joonialaisilla kirjaimilla normaaliin tapaan. Ptolemaioksen nolla oli vaihtelevasti koristettu pieni ympyrä, jonka päälle oli vedetty pitkä viiva.[5] Varhaisin kiistaton nollan merkintä on kuitenkin vuodelta 862 olevassa intialaisessa kaiverruksessa. Pidetään mahdollisena, että nolla syntyi kreikkalaisessa maailmassa, ehkä Aleksandriassa, ja siirtyi sieltä Intiaan.[6]

Nykyisen Pakistanin alueelta Bakhshalin kylästä on löytynyt nollia sisältävä käsikirjoitus. Käsikirjoituksen vanhimmat osat ovat ajalta 224–383 jaa. Käsikirjoitus koostuu 70 tuohenpalasesta, joissa on sanskriitinkielistä tekstiä ja matemaattisia kaavoja.[7]

Nolla näyttää syntyneen riippumattomasti Jukatanin niemimaalla mayojen kulttuurissa ennen Kolumbusta. Kun kantalukuna käytettiin lukua viisi, luku 17 voitiin ilmaista kahdella pisteellä ja niiden alla olevilla kolmella viivalla. Tyhjää paikkaa merkittiin erilaisilla symboleilla.[8]

Varhaisin viittaus intialaisiin numeroihin on syyrialaisen piispan Severus Seboktin huomautus vuonna 662, että intialaiset käyttivät yhdeksää numeromerkkiä.[9] Kun nolla saatiin mukaan, sen merkiksi omaksuttiin hanhen munaa esittävä soikio. Intialaiset numerot sisälsivät kolmen periaatteen yhdistelmän: 1) kantalukuna oli kymmenen, 2) käytössä oli paikkamerkinnät ja 3) kutakin kymmentä lukua vastasi oma merkkinsä.[5] Intiassa ja osassa Arabian niemimaata käytetään nollan symbolina keskitettyä pistettä ympyrän tai soikion sijaan.

Brahmagupta kirjoitti Keski-Intiassa vuoden 628 jaa. tienoilla kirjan Brahmasphuta Siddhāntan. Siinä hän luettelee joitakin nollaan ja negatiivisiin lukuihin liittyviä ominaisuuksia seuraavasti: "Nollan ja negatiivisen luvun summa on negatiivinen. Nollan ja positiivisen luvun summa on positiivinen. Kahden nollan summa on nolla. Positiivisen ja negatiivisen luvun summa on lukujen erotus tai nolla, jos ne ovat yhtä suuret. Positiivisen tai negatiivisen luvun jakolaskun tulos, kun nolla on jakajana, on murtoluku, jossa nolla on jakaja. Nolla jaettuna positiivisella tai negatiivisella luvulla on nolla tai murtoluku, jossa osoittajana on nolla ja nimittäjänä on mainittu luku. Nolla jaettuna nollalla on nolla." Viimeinen lause, jossa nolla jaetaan nollalla, ei vastaa nykykäsitystä laskun tuloksesta.[10]

• Radioamatöörien kutsumerkeissä 0 on piirinumero Ahvenanmaan maakunnan (ent. Ahvenanmaan lääni) alueella.[15]

• Barrow John D.: Lukujen taivas. Suomentanut Vilikko, Risto. Smedjebacken, Ruotsi: Art House, 1999. ISBN 951-884-231-0.
• Boyer, Carl B. & Merzbach, Uta C.: Tieteiden kuningatar – Matematiikan historia, osat I ja II. (A history of mathematics, 1985.). Suomentanut Kimmo Pietiläinen. Helsinki: Art House, 1994. ISBN 951-884-150-0 ja ISBN 951-884-158-6.

• Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi II – Reaalimuuttujan funktioiden differentiaalilasku. Helsinki: Otakustantamo, 1969. ISBN 951-671-022-0.
• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf).

• Radiohiiliajoitus pidensi nollan ikää puolella vuosituhannella Yle, 2017