χ²-jakauma

${\displaystyle \chi ^{2}}$-jakauma on tilastotieteen testeissä käytetty jakauma. Jos satunnaismuuttujat ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ ovat riippumattomia ja standardinormaalijakautuneita, niin niiden neliöiden summa on ${\displaystyle \chi ^{2}}$-jakautunut n:llä vapausasteella. Jos ${\displaystyle X=X_{1}^{2}+\ldots +X_{n}^{2}}$, on siis

${\displaystyle X\sim \chi _{n}^{2}.}$

${\displaystyle \chi ^{2}}$-jakauma

Tiheysfunktio
Kertymäfunktio
Merkintä	${\displaystyle \chi ^{2}(k)\!}$ tai ${\displaystyle \chi _{k}^{2}\!}$
Parametrit	${\displaystyle k\in \mathbb {N} ~~}$ (tunnetaan "vapausasteena")
Määrittelyjoukko	x ∈ [0, +∞)
Tiheysfunktio	${\displaystyle {\frac {1}{2^{\frac {k}{2}}\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}\;x^{{\frac {k}{2}}-1}e^{-{\frac {x}{2}}}\,}$
Kertymäfunktio	${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}\;\gamma \left({\frac {k}{2}},\,{\frac {x}{2}}\right)}$
Odotusarvo	k
Mediaani	${\displaystyle \approx k{\bigg (}1-{\frac {2}{9k}}{\bigg )}^{3}}$
Moodi	max{ k − 2, 0 }
Varianssi	2k
Vinous	${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {8/k}}\,}$
Huipukkuus	12 / k
Entropia	${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {k}{2}}&+\ln(2\Gamma (k/2))\\&\!+(1-k/2)\psi (k/2)\end{aligned}}}$
Momentit generoiva funktio	(1 − 2 t)−k/2   kun  t  < ½
Karakteristinen funktio	(1 − 2 i t)−k/2      [1]

Jakauman parametri ${\displaystyle n}$ on positiivinen kokonaisluku. ${\displaystyle \chi ^{2}}$-jakauma on jatkuva, ja sen arvojoukko on positiivisten reaalilukujen joukko. Tiheysfunktio on arvojoukossa

${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {x^{{\frac {n}{2}}-1}e^{-{\frac {x}{2}}}}{2^{\frac {n}{2}}\Gamma ({\frac {n}{2}})}},}$

jossa ${\displaystyle \Gamma (r)=\int _{0}^{\infty }x^{r-1}e^{-x}dx}$ on Eulerin gammafunktio.

Kertymäfunktiota ${\displaystyle F_{X}(x)=\int _{0}^{x}f_{X}(z)dz}$ ei voi yleisessä tapauksessa esittää suljetussa muodossa.

Odotusarvo ja varianssi ovat

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=n}$ ja ${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=2n.}$

${\displaystyle \chi ^{2}}$-jakauma on gammajakauman erikoistapaus:

${\displaystyle \chi ^{2}=\operatorname {Gamma} \left({\frac {n}{2}},{\frac {1}{2}}\right).}$