Zuzen (geometria)

Zuzenaren m malda honela kalkulatzen da, ${\displaystyle (x_{1},y_{1})\,}$ eta ${\displaystyle (x_{2},y_{2})\,}$ planoko puntuetarako:

${\displaystyle m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}}$

Zuzenaren ekuazioa hau izango da:

${\displaystyle y-y_{1}=m(x-x_{1})\,}$

Zuzeneko (x,y) puntuak sortzeko, x aldagaiari balio ezberdinak emanez dagozkien y balioak kalkulatzen dira.

Zuzenaren ekuazioa esplizitua era honetan agertzen den ekuazioa da, m malda eta n jatorrizko ordenatua (x=0 jatorrian zuzenak hartzen duen balioa alegia) izanik:

${\displaystyle y=mx+n\,}$

${\displaystyle m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\ \$ ;\ \ n=y_{1}-mx_{1}\,}

Zuzeneko puntuak sortzeko, x aldagaiari balio ezberdinak eman behar zaizkio.

Zuzen bat zuzenaren ${\displaystyle \mathbf {p} =(x_{1},y_{1})\,}$ bektore edo puntu bat eta zuzenaren norabidea ematen duen ${\displaystyle \mathbf {v} \,}$ bektore zuzentzaile bat ezarriz defini daiteke, ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} \,}$ balioetarako:

${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {p} +\lambda \mathbf {v} =(x_{1},y_{1})+\lambda (x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1})\,}$

Zuzeneko (x,y) puntuak sortzeko, ${\displaystyle \lambda \,}$ aldagaiari balio ezberdinak eman behar zaizkio.

Ekuazio parametrikoak ekuazio bektorialetik eratortzen da zuzenean zuzeneko puntuei dagozkien ${\displaystyle (x,y)\,}$ bektorea eta bektore zuzentzailea deskonposatuz bere bi elementutan:

${\displaystyle x=x_{1}+\lambda v_{1}=x_{1}+\lambda (x_{2}-x_{1})\,\ ,}$

${\displaystyle y=y_{1}+\lambda v_{2}=y_{1}+\lambda (y_{2}-y_{1})\,}$

Zuzeneko x eta y puntuak sortzeko, ${\displaystyle \lambda \,}$ aldagaiari balio ezberdinak eman behar zaizkio.

Arestiko ekuazio parametrikoetatik ${\displaystyle \lambda \,}$ bakanduz eta berdinduz, ekuazio jarraitua lortzen da:

${\displaystyle {\frac {x-x_{1}}{v_{1}}}={\frac {y-y_{1}}{v_{2}}}\ ,\ {\text{edo}}}$

${\displaystyle {\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}}\ .}$

Zuzeneko puntuak sortzeko, x aldagaiari balio bat eman eta beste aldagaiaren y balioa askatu behar da.

Zuzenaren ekuazio inplizitua era honetan agertzen den ekuazioa da:

${\displaystyle Ax+By+C=0\,}$

Zuzenaren bektore zuzentzailea (-B,A) da.

Ekuazio esplizituarekin alderatzen bada, m malda eta n jatorriko ordenatua hauek izango dira:

${\displaystyle m={\frac {-A}{B}}\ \ ,\ \ n={\frac {-C}{B}}\,}$

Zuzeneko puntuak sortzeko, x aldagaiari balio bat eman eta beste aldagaiaren y balioa askatu behar da.

Planoko zuzen baten ekuazio kanonikoaren a eta b balioak.

Ekuazio segmentario edo kanonikoaz honela irudikatzen da zuzena:

${\displaystyle {\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}=1}$

${\displaystyle (a,0),(0,b)\,}$ izanik ${\displaystyle x,y\,}$ ardatzekin, hurrenez hurren, zuzenak dituen ebaki puntuak (eta horrela a eta b luzerako segmentu edo zuzenkiak sortuz).

Zuzeneko puntuak sortzeko, x aldagaiari balio bat eman eta beste aldagaiaren y balioa askatu behar da.

Zuzenaren ekuazio esplizitua hartuz, eta ${\displaystyle x=r\ \cos \theta \ ,\ y=r\ \sin \theta \,}$ aldaketak eginez koordenatu cartesiarretatik koordenatu polarretara aldatzeko, m malda eta n jatorriko koordenatua izanik:

${\displaystyle y=mx+n\rightarrow r\sin \theta =mr\cos \theta +n\,}$

Beraz, zuzenaren ekuazioa koordenatu polarretan honela irudika daiteke [2]:

${\displaystyle r={\frac {n}{\sin \theta -m\cos \theta }},}$

Zuzena radiala denean, hau da, jatorritik igarotzen denean, zuzenaren ekuazioa koordenatu polarretan hau da:

${\displaystyle \tan \theta =m\,}$

Zuzen bat irudikatzeko beste era batzuk daude, zuzena ${\displaystyle (x_{1},y_{1});(x_{2},y_{2})\,}$ puntuetatik igarotzen delarik:

${\displaystyle a(x-x_{1})+b(y-y_{1})=0\,;}$

${\displaystyle \left|{\begin{array}{ccc}x&y&1\\x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\\end{array}}\right|.}$

Bi puntuak ${\displaystyle \mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2}:(x_{1},y_{1},z_{1}),(x_{2},y_{2},z_{2})\,}$ izanik, ${\displaystyle \mathbf {v} }$ bektore zuzentzailea honela kalkulatzen da:

${\displaystyle \mathbf {v} =(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1},z_{2}-z_{1})\,}$

Zuzenaren ekuazioa bektoriala honako hau da.

${\displaystyle (x,y,z)=\mathbf {x} =\mathbf {x_{0}} +t\mathbf {v} =(x_{1},y_{1},z_{1})+t(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1},z_{2}-z_{1})\,}$

Ekuazio bektoriala zatituz, honela definitzen dira, ${\displaystyle t\in \mathbb {R} \,}$ balioetarako:

${\displaystyle x=x_{1}+t(x_{2}-x_{1})\,}$

${\displaystyle y=y_{1}+t(y_{2}-y_{1})\,}$

${\displaystyle z=z_{1}+t(z_{2}-z_{1})\,}$

Ekuazio parametrikoetan t bakanduz eta berdinduz, zuzenaren ekuazio jarraia lortzen da:

${\displaystyle {\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}}={\frac {z-z_{1}}{z_{2}-z_{1}}}\,}$

Ekuazio orokor edo inplizituak zuzena bi planoren ebaketa moduan azaltzen du:

${\displaystyle {\begin{cases}Ax+By+Cz+D=0,\\A'x+B'y+C'z+D'=0.\end{cases}}}$

${\displaystyle (A,B,C)\,}$ eta ${\displaystyle (A',B',C')\,}$ bi planoen bektore normalak, planoekiko elkarzutak alegia, izanik.