Zenbatzaile (logika)

Hurrengo adierazpena kontuan izanik:

1 · 2 = 1 + 1, eta 2 · 2 = 2 + 2, eta 3 · 2 = 3 + 3, ..., eta 100 · 2 = 100 + 100, eta ..., etab.

Honek infinitu proposizioen segida baten itxura dauka. Hizkera formalaren ikuspuntutik arazo bat sortzen du arau sintaktikoek objetu mugatuak sortu behar direla esaten baitute. Zorte onez, goiko adibideak prozedura baten bitartez sortzen ditu konjuntzio guztiak, baino zenbaki irrazionalen kasuan adibidez, ez dago modurik konjuntzio guztiak zerrendatzeko zenbaki irrazionalak ezin baitira zerrendatu. Hau saihesteko erabiltzen den formulazioa kuantifikazio unibertsala da:

Zenbaki natural guztietarako (n), n·2 = n+n

Berdina aplikatzen da disjuntzioetan,

1 berdin 5 + 5, edo 2 berdin 5 + 5, edo 3 berdin 5 + 5, ... , edo 100 berdin 5 + 5, edo ..., etab.

Ordezkatu daitekeena kuantifikazio existentzialarekin:

Zenbaki natural batzuetarako (n), n berdin 5+5

Posiblea da aljebra abstraktuaren modeloetan dauden hizkuntza formalak diseinatzea kuantifikazioaren bitartez, baino aurrerapenak motelak izan dira eta mota honetako aljebran interesa mugatuta izan da. Hiru ikuspuntu diseinatu dira orain arte:

• Erlazio aljebra, Augustus De Morgan ek sortuta eta Charles Sanders Peirce, Ernst Schröder, Alfred Tarski eta Tarskiren ikasleek garatuta. Erlazio aljebrak ezin du hiru baino gehiagoko sakonerako zenbatzaileak dituen formularik irudikatu. Harrigarriro, erlazio aljebraren ereduaren barruan Multzo-teoria eta Peanoren axiomak daude.
• Aljebra zilindrikoa Alfred Tarskik, Leon Henkinek, eta beste batzuek diseinatuta;
• Paul Halmosen aljebra poliadikoa.

Bi zenbatzaile erabilienak zenbatzaile unibertsala eta zenbatzaile existentziala dira. Zenbatzaile unibertsalaren sinbolo ohikoa "∀" da, "A" letra buruz behera, eta "guztietarako" edo "guztiak" esan nahi du. Zenbatzaile existentzialari dagokion sinboloa "∃" da, "E" letra biratuta, eta "Existitzen da" adierazten du.

Hona hemen euskeraz dagoen adierazpen bat kuantifikatura pasatzen duen adibide bat. "Peioren lagun bakoitzari dantzatzea edo hondartzara joatea gustatzen zaio" adierazpena emanda, funtsezko aldeak identifikatu ditzazkegu eta sinboloak eta zenbatzaileak erabiliz berridatzi dezakegu. Orduan, X izanik Peioren lagun guztiak, P(x) predikatua "x-ri dantzatzea gustatzen zaio" da, eta Q(x) predikatua "x-ri hondartzara joatea gustatzen zaio" da. Hortaz, goiko adierazpena notazio formalean ${\displaystyle \forall {x}{\in }X,P(x)\lor Q(x)}$ izango litzateke, "X-ko x guztietarako, non x X-ren kide bat den, P x-ri aplikatzen zaio edo Q x-ri aplikatzen zaio"

Beste kuantifikatutako espresio batzuk horrela daude eraikita,

${\displaystyle \exists {x}\,P\qquad \forall {x}\,P}$

P formularako. Bi espresio hauek (goiko definizioak erabiliz) "existitzen da Peioren lagunen bat dantzatzea gustatzen zaiona" eta "Peioren lagun guztiei dantzatzea gustatzen zaie" irakurtzen dira hurrenez hurren. Aldagaien notazioetan sartzen dira, X multzorako eta x multzoaren kiderako:

${\displaystyle (\exists {x})P\qquad (\exists x\ .\ P)\qquad \exists x\ \cdot \ P\qquad (\exists x:P)\qquad \exists {x}(P)\qquad \exists _{x}\,P\qquad \exists {x}{,}\,P\qquad \exists {x}{\in }X\,P\qquad \exists \,x{:}X\,P}$

Bariazio guzti hauek ere kuantifikazio unibertsalean aplikatzen dira. Beste bariazio batzuk zenbatzaile unibertsalentzako:

${\displaystyle (x)\,P\qquad \bigwedge _{x}P}$

Azkenik, aipatzekoa da zenbatzaile existentzial bakarra, multzo baten elementu bakarra propietate bat betetzen duela adierazteko erabiltzen da:

${\displaystyle \exists$ !\,x\in A\;:\quad P(x)} , Existitzen da elementu bakarra x, A -koa, P(x) betetzen duena.

Notazioaren bertsio batzuk argi aipatzen dute kuantifikazioaren maila. Kuantifikazioaren maila beti espezifikatu behar da.

Zenbatzaileen ordena esanahierako erabakigarria da, ikusi daiteke hurrengo bi proposamenetan:

n zenbaki natural bakoitzerako, existitzen da s naturala non s = n². Hau guztiz egia da; bakarrik adierazten baitu zenbaki natural bakoitzak karratu bat duela. Zenbatzaileak lekuz aldatuz gero adierazpenaren esanahia ezberdina da:

Existitzen da s zenbaki naturala non zenbaki natural bakoitzerako n, s = n². Hau guztiz gezurra da; adierazten baitu s zenbaki bakarra denbora berdinean zenbaki natural guztien karratua dela. Sintaxiak esaten baitu aldagaiak ezin direla izan aurrerago sartutako aldagaien funtzioak.

Formula batean habiaratutako zenbatzaileen sakonera maximoari zenbatzaileen heina deritzogu.

• Barwise, Jon; and Etchemendy, John, 2000. Language Proof and Logic. CSLI (University of Chicago Press) and New York: Seven Bridges Press. A gentle introduction to first-order logic by two first-rate logicians.
• Frege, Gottlob, 1879. Begriffsschrift. Translated in Jean van Heijenoort, 1967. From Frege to Gödel: A Source Book on Mathematical Logic, 1879-1931. Harvard University Press. The first appearance of quantification.
• Hilbert, David; and Ackermann, Wilhelm, 1950 (1928). Principles of Mathematical Logic. Chelsea. Translation of Grundzüge der theoretischen Logik. Springer-Verlag. The 1928 first edition is the first time quantification was consciously employed in the now-standard manner, namely as binding variables ranging over some fixed domain of discourse. This is the defining aspect of first-order logic.
• Peirce, C. S., 1885, "On the Algebra of Logic: A Contribution to the Philosophy of Notation, American Journal of Mathematics, Vol. 7, pp. 180–202. Reprinted in Kloesel, N. et al., eds., 1993. Writings of C. S. Peirce, Vol. 5. Indiana University Press. The first appearance of quantification in anything like its present form.
• Reichenbach, Hans, 1975 (1947). Elements of Symbolic Logic, Dover Publications. The quantifiers are discussed in chapters §18 "Binding of variables" through §30 "Derivations from Synthetic Premises".
• Westerståhl, Dag, 2001, "Quantifiers," in Goble, Lou, ed., The Blackwell Guide to Philosophical Logic. Blackwell.
• Cuantificador, Wikipedia (ES)
• Frantzisko Xabier Albizuri, Matematika Diskretua: Logika eta Konbinatoria, 2018.