Zenbaki lehenen teorema

π(x) (gorria), x / ln x (berdea) eta Li(x) (urdina)-ren konparaziozko grafikoa.

Izan bedi zenbaki lehenak kontatzeko funtzioa, hau gainditzen ez duten lehengusu-kopuruak adierazten dituena:${\displaystyle \pi (x)\,}$${\displaystyle x\,}$ Teoremak hau ezartzen du:[2]

${\displaystyle \pi (x)\sim {\frac {x}{\ln(x)}}}$, non ${\displaystyle \ln(x)}$ da ${\displaystyle x}$ren logaritmo naturala.

Adierazpen horrek ez du esan nahi adierazpen horren bi zatien arteko diferentzia ${\displaystyle x\,}$-en oso balio handietarako zero denik; horrek esan nahi du ${\displaystyle x}$-en oso balio handietarako zatidura ia 1 dela. Aurrekoa baino hurbilketa hobea desplazatutako integral logaritmikoak ematen du:

${\displaystyle \pi (x)\approx \operatorname {Li} (x)}$ , non ${\displaystyle \operatorname {Li} (x)}$ ${\displaystyle x}$ren logaritmo integral desplazatua da.

1792 eta 1793 tartean, Gaussek honako ohar hau idatzi zuen bere ohar-liburuxkan artean Collegium Carolinum delakoan zegoela:

«Zenbaki lehenak a (=∞) a/la», hizkera modernoan gero eta handiagoak diren balioetarako π(x) a/ln(a) zatidurara hurbiltzen dela esan nahi duena. Hau "zenbaki lehenen teoremaren lehen aierutzat" hartzen da. Gainera, π(x) funtzioa, x-a gainditzen ez duten zenbaki lehenen kopurua adierazten duena, Gaussek ere definitu zuen.

Zenbaki lehenen teorema ere Adrien-Marie Legendrek 1798an suposatu zuen, eta adierazi zuen π(x) a/(A ln(a) + B) forma zuela, non A eta B zehaztuta ez dauden konstanteak dira. Bere zenbakien teoriaren liburuaren bogarren edizioan (1808) aieru zehatzagoa egin zuen, A = 1 eta B = -1.08366. Ondoren, Gaussek aierua findu zuen, gaur egun teoremarekin maizago lotzen den adierazpena sortuz. Legendrek, Gaussek, Dirichletek, Chebychevek eta Riemannek ere ekarpen esanguratsuak egin zituzten proposizio honi buruz.

Teoremaren frogapen formala modu independentean egin zuten Jacques Hadamardek eta Charles-Jean de la Vallée Poussin-ek 1896an. Bi frogapen horiek Riemannen zeta funtzioak ${\displaystyle \zeta (z)}$ 1+it forma duen zerorik (t > 0 izanki) ez izatearen emaitzan oinarritzen ziren. Egiazki, frogapena teoremaren aurreko definizioan adierazten dena baino adierazpen zorrotzago baten gainean egin zen, Hadamardek eta Poussinek frogatutako adierazpena honako hau izanik:

${\displaystyle \pi (x)\approx {\mbox{Li}}(x)}$

non

${\displaystyle {\mbox{Li}}(x)=\int _{2}^{x}{\frac {dy}{\ln(y)}}}$

1896az geroztik, zenbaki lehenen teoremari lotutako adierazpena hobetzen joan da, eta hauxe da gaur egungo hurbilketarik onena:

${\displaystyle \pi (x)={\rm {Li}}(x)+O\left(x\,\exp \left(-{\frac {A(\ln x)^{3/5}}{(\ln \ln x)^{1/5}}}\right)\right)}$

non ${\displaystyle O(f(x))}$, ${\displaystyle f(x)}$ren funtzio asintotikoa bezala definitzen den eta A konstante indeterminatu bat den.

${\displaystyle x}$-ren balio txikietarako frogatu egin zen ${\displaystyle \pi (x)<{\mbox{Li}}(x)}$ zela, eta, horren ondorioz, Gaussen garaian zenbait matematikarik suposatu izan zuten ${\displaystyle {\mbox{Li}}(x)}$ ${\displaystyle \pi (x)}$ren kota goren hertsia zela (hau da, ${\displaystyle \pi (x)-{\mbox{Li}}(x)=0}$ ekuazioak ez duela soluzio errealik). Hala ere, 1912an J. E. Littlewoodek frogatu egin zuen kota hori ${\displaystyle x}$ balio aski handietarako gurutzatua dela. Lehenengoa Skewesen lehen zenbakia bezala ezagutzen dena da, eta gaur egun ${\displaystyle \scriptstyle 10^{317}}$tik beherakoa dela badakigu, nahiz eta ${\displaystyle \scriptstyle 10^{176}}$ baino txikiagoa ere izan daitekeela uste den. 1914an Littlewoodek bere demostrazioa zabaldu zuen ${\displaystyle \pi (x)-{\mbox{Li}}(x)=0}$ ekuazioari soluzio ugari gehituz. Balio eta aurkikuntza hauetako asko Riemannen hipotesiaren baliozkotasunarekin lotuta daude.

Riemann ${\displaystyle \lambda }$(s) funtzioaren eta ${\displaystyle \pi }$(x) funtzioaren arteko lotura dela eta, Riemann-en hipotesia oso garrantzitsua da zenbakien teorian, eta jakina, zenbaki lehenen teoreman.

Riemann-en hipotesia betetzen bada, zenbaki lehenen teoreman agertzen den errore terminoa ahalik eta modurik onenean muga daiteke. Zehatz-mehatz, Helge von Koch-ek hurrengoa frogatu zuen 1901ean:

${\displaystyle \pi {\bigl (}x{\bigr )}=Li{\bigl (}x{\bigr )}+O\left({\sqrt {x}}\ln x\right)}$,

baldin eta soilik baldin Riemann-en hipotesia betetzen bada. LowelSchoenfeld-ek 1976an emandako Koch-en emaitzaren aldaera finbatek dio Riemann-en hipotesia emaitza honen baliokidea dela:

${\displaystyle |\pi (x)-\operatorname {Li} (x)|<{\frac {1}{8\pi }}{\sqrt {x}}\,\ln(x),\qquad {\text{edozein }}x\geq 2657}$.

${\displaystyle \pi }$_n,a${\displaystyle (x)}$ progresio aritmetiko batean zenbaki lehen kopurua adierazten duen funtzioa izanik, ${\displaystyle a,a+n,a+2n,a+3n,...<x}$. Dirichletek eta Legendrek deduzitu zuten eta Vallée-Poussinek frogatu, baldin eta a eta n ez dira kolehenak, orduan

${\displaystyle \pi _{n,a}(x)\sim {\frac {1}{\varphi (n)}}\mathrm {Li} (x),}$

non φ Eulerren φ funtzioa den.

Beste era batera esanda, zenbaki lehenak modu uniformean banatzen dira [a] n moduluko klase-hondarren artean, mcd(a, n) = 1 izanik. Hori frogatzeko, Newmanek zenbaki lehenen teorema frogatzeko erabilitako antzeko metodoak erabil daitezke.

Siegel–Walfiszen teoremak zenbatespen ona ematen dio zenbaki lehenek klase-hondarretan duten banaketari.

1. Gracián, Enrique: «Los números primos. Un largo camino al infinito» ISBN 978-84-473-6625-5, pág 77
2. Niven y Zuckerman: Introducción a la teoría de números ISBN 968-18-0669-7, pp.23 y 24

• (Ingelesez) Weisstein, Eric W.: "Prime Number Theorem" MathWorld-en.
• Prime number theorem en PlanetMath.