Zenbaki aljebraikoen teoria

Zenbaki aljebraikoen teoriaren hastapenak Diofantoren ekuazioetan aurki daitezke[1], horrela izendatua III. mendeko Diofanto matematikari alexandriarrarengatik, zeinak ekuazio diofandar mota batzuk ebazteko metodoak aztertu eta garatu zituen. Problema diofandar tipiko bat da x eta y bi zenbaki osoak aurkitzea, zienen haien batura eta karratuen batura A eta B bi zenbaki berdinak izan daitezen, hurrenez hurren:

${\displaystyle A=x+y\ }$

${\displaystyle B=x^{2}+y^{2}.\ }$

Ekuazio diofandarrak milaka urtez aztertu dira. Esaterako, x² + y² = z² ekuazio koadratiko diofandarraren soluzioak hiruko pitagorikoekin adierazten dira, jatorriz babiloniarrek ebatzitakoak (K.a. 1800. urtean)[2]. Ekuazio diofandar linealen soluzioak, hala nola 26x + 65y = 13, Euklidesen algoritmoa erabiliz kalkula daitezke (K.a. V. mendea)[3].

Diofantoren lan nagusia Arithmetica izan zen, eta zati bat baino ez du iraun.

Fermat-en Azken Teorema Pierre de Fermatek 1637an aieru zuen lehen aldiz, Arithmetica-ren kopia baten ertzean, non marjinan sartzeko handiegia zen froga bat zuela esan baitzuen. 1995era arte, ez zen froga arrakastatsurik argitaratu, 358 urteetan zehar matematikari ugarik ahalegindu arren. Ebatzi gabeko problemak zenbaki aljebraikoen teoriaren garapena bultzatu zuen XIX. mendean, eta modulartasun teoremaren frogantza XX. mendean.

Zenbaki aljebraikoen teoriaren sorrerako lanetako bat, Disquisitiones Arithmeticae[4] Carl Friedrich Gaussek 1798an, 21 urte zituela, latinez idatzitako zenbakien teoriako testuliburua da, eta 1801ean argitaratu zuen lehen aldiz, 24 urte zituela. Liburu horretan, Fermat, Euler, Lagrange eta Legendre bezalako matematikariek lortutako zenbaki teoriaren emaitzak biltzen ditu Gaussek eta bere emaitza berri garrantzitsuak gehitzen ditu. Disquisitiones argitaratu baino lehen, zenbakien teoria teorema eta aieru isolatuen bildumaz osatuta zegoen. Gaussek, bere aurrekoen lana, bere jatorrizko lanarekin, marko sistematiko batera eraman zuen; hutsuneak bete zituen; froga ahulak zuzendu, eta gaia modu askotan zabaldu zuen.

XIX. mendeko Europako beste matematikari batzuen lanen abiapuntua izan zen Disquisitiones, hala nola Ernst Kummer, Peter Gustav Lejeune Dirichlet eta Richard Dedekind-enak. Gaussen oharpen asko, hain zuzen ere, bere ikerketen iragarpenak dira, eta horietako batzuk argitaratu gabe geratu ziren. Haien garaikideei bereziki kriptikoak iruditu behar zitzaizkien; orain, L-funtzioen eta, bereziki, biderketa konplexuaren teorien germenak jasoko balituzte bezala irakur ditzakegu,

1838an eta 1839an, Peter Gustav Lejeune Dirichlet-ek klaseko lehen zenbakien formula frogatu zuen forma koadratikoetarako (gero, Leopold Kronecker bere ikasleak findua). Jacobik «giza ikusmenaren gailurra ukitzen duen emaitza» deitu zuen formulak, izan ere, antzeko emaitzak lortzeko bidea ireki zuen zenbaki-eremu orokorragoei dagokienez[5]. Eremu koadratikoen unitateen taldearen egituraren ikerketan oinarrituta, Dirichleten unitateen teorema frogatu zuen, zenbaki aljebraikoen teorian oinarrizko emaitza dena[6].

Lehenik eta behin, laukitxo-printzipioa erabili zuen (oinarrizko zenbaketa-argudioa) hurbilketa diofandarreko teorema baten frogan, geroago Dirichleten hurbilketa-teorema izendatu zena. Fermaten azken teoremari, ekarpen garrantzitsuak egin zizkion, zeinarentzat n = 5 eta n = 14 kasuak frogatu zituen; elkarrekikotasun-lege bikoadratikoari ere, ekarpenak egin zizkion[5]. Dirichleten zatitzailearen problema, zeinarentzat lehen emaitzak aurkitu zituen, zenbakien teorian konpondu gabeko arazoa izaten jarraitzen du, gerora beste ikertzaile batzuek ekarpenak egin arren.

Zenbaki osoen eraztunaren propietate garrantzitsu bat da aritmetikaren oinarrizko teorema betetzen duela, zenbaki oso (positibo) bakoitzak zenbaki lehenen produktu batean faktorizazioa duela eta faktoreen ordenaren arabera bakarra dela faktorizazio hori. Baliteke hori egia ez izatea K zenbaki aljebraiko eremu bateko O zenbaki osoen eraztunean.

Elementu lehen bat O-ren p elementu bat da, non p-k ab produktu bat zatitzen badu, a edo b faktoreetako bat zatitzen du orduan. Propietate hori oso lotuta dago lehentasunarekin, propietate hori betetzen duen edozein zenbaki oso positibo 1 edo zenbaki lehen bat delako. Hala ere, zorrozki, ahulagoa da. Adibidez, &menos;2 ez da zenbaki lehena negatiboa delako, baina elementu lehena da. Elementu lehenen faktorizazioak onartzen badira, orduan, zenbaki osoetan ere, faktorizazio alternatiboak daude, hala nola

${\displaystyle 6=2\cdot 3=(-2)\cdot (-3).}$

Orokorrean, u unitatea bada (hau da, O-n alderantzizko biderkatzailea duen zenbakia) eta p elementu lehena bada, orduan, up ere elementu lehena da. p eta up bezalako zenbakiak elkartuta daudela esaten da. Zenbaki osoetan, p eta −p zenbaki lehenak elkartuta daude, baina horietako bakarra da positiboa. Zenbaki lehenak positiboak izatea eskatzean, elkartutako elementu lehenen multzo batetik elementu bakar bat hautatzen da. Hala ere, K zenbaki arrazionalak ez direnean, ez dago positibotasunaren analogorik. Adibidez, zenbaki oso gaussiarretan 'Z[i],[7] 1 + 2i eta −2 + i zenbakiak elkartuta daude bigarrena lehenengoa i-ren biderkadura delako, baina ez dago modurik bat bestea baino kanonikoagoa zehazteko. Horrek honelako ekuazioak sortzen ditu:

${\displaystyle 5=(1+2i)(1-2i)=(2+i)(2-i),}$

horrek erakusten du ez dela egia Z[i-en faktoreen ordenara arte faktorizazioak bakarrak direnik. Hori dela eta, faktorizazio bakarraren domeinuetan (UFD) erabiltzen den faktorizazio bakarraren definizioa hartzen da. UFD batean, faktorizazio batean agertzen diren elementu lehenak unitateen eta haien ordenaren arabera bakarrak izatea espero da.

Hala ere, definizio ahulagoa izanda ere, zenbaki-eremu aljebraikoetako zenbaki osoen eraztun askok ez dute faktorizazio bakarra onartzen. Klase idealen multzoa izeneko oztopo aljebraiko bat dago. Klase idealen taldea hutsala denean, eraztuna UFD bat da. Hala ez denean, elementu lehen eta murriztu ezin baten arteko bereizketa dago. x elementu murriztu ezina da: x = yz bada, y edo z unitatea da. Horiek dira gehiago faktorizatu ezin diren elementuak. O elementu bakoitzak faktorizazio bat onartzen du elementu murriztu ezinetan, baina bat baino gehiago onar ditzake. Hau da, elementu lehen guztiak murriztu ezinak diren bitartean, elementu murriztu ezin batzuk, agian, ez dira lehenak. Adibidez, kontuan haru Z[√-5 [8]. Eraztun honetan, 3, 2 + √-5 eta 2 - √-5 zenbakiak murriztu ezinak dira. Horrek esan nahi du 9 zenbakiak bi faktorizazio dituela elementu murriztu ezinetan,

${\displaystyle 9=3^{2}=(2+{\sqrt {-5}})(2-{\sqrt {-5}}).}$

Ekuazio horrek erakusten du 3k (2 + √-5)(2 - √-5) = 9 produktua zatitzen duela. 3 elementu lehena balitz, orduan, 2 + √-5 edo 2 - √-5 zatituko luke, baina ez da hala, zeren 3tik zati daitezkeen elementu guztiak 3a + 3b√-5 formakoak direlako. Era berean, 2 + √-5 eta 2 - √-5 zatitzen du 3² produktua, baina ez batak ez besteak ez du 3ra zatitzen, beraz, ez bata, ez bestea, ez dira lehenak. 3, 2 + √-5 eta 2 - √-5 elementuak baliokide bihur daitezkeen zentzurik ez duenez, faktorizazio bakarrak huts egiten du Z[√-5]-en. Unitateen egoera ez bezala, non berezitasuna konpon zitekeen definizioa ahulduz, hutsegite hori gainditzeak ikuspegi berri bat eskatzen du.

I ideal bat bada O-n, orduan, beti dago ${\displaystyle I={\mathfrak {p}}_{1}^{e_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{t}^{e_{t}},}$ faktorizazio bat, non ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$ bakoitza ideal lehen bat den eta non adierazpen hori bakarra den faktoreen ordenaren arabera. Bereziki, hori egia da I bada elementu bakar batek sortutako ideal nagusia. Hori da zenbaki-eremu orokor baten zenbaki osoen eraztunak faktorizazio bakarra onartzen duen zentzurik indartsuena. Eraztun teoriaren hizkuntzan, zenbaki osoen eraztunak Dedekind domeinuak direla esaten da.

O UFD denean, ideal lehen bakoitza elementu lehen batek sortzen du. Bestela, elementu lehenek sortzen ez dituzten ideal lehenak daude. Z[√{Overline-n, adibidez, ideala (2, 1 + √-5 elementu bakar batek sortu ezin duen ideal lehen bat da.

Historikoki, idealak ideal lehenetan faktorizatzearen ideia Ernst Kummer-ek zenbaki idealak sartu aurretik sortu zen. Hauek K-ren E hedapen eremuan dauden zenbakiak dira. Luzapen-eremu hori Hilbert klase-eremua bezala ezagutzen da. Idealaren teorema nagusiaren arabera, O-ren ideal lehen orok E-ren eraztunaren ideal nagusi bat sortzen du. Ideal lehen horren sortzaileari zenbaki ideal deitzen zaio. Kummerrek eremu ziklotomikoko faktore bakarreko porrotaren ordezko gisa erabili zituen. Horrek, azkenean, idealen aitzindari bat sartzera eta idealen faktorizazio berezia frogatzera eraman zuen Richard Dedekind.

Zenbaki-eremu bateko zenbaki osoen eraztunean lehena den ideala horrelakoa izateari utziko dio zenbaki-eremu handiago batera hedatzen denean. Demagun, adibidez, zenbaki lehenak. Dagozkion p Z idealak Z eraztunaren ideal lehenak dira. Dena den, ideal hori zenbaki gaussiar osoetara zabaltzen denean p Z[i]} lortzeko, lehena izan daiteke edo ez. Adibidez, 2 = (1 + i)(1 − i) faktorizazioak dakar:

${\displaystyle 2\mathbf {Z} [i]=(1+i)\mathbf {Z} [i]\cdot (1-i)\mathbf {Z} [i]=((1+i)\mathbf {Z} [i])^{2};}$

Kontuan har 1 + i = (1 − i) ⋅ i denez, 1 + i eta 1 − i k sortutako idealak berdinak direla. Zenbaki gaussiar osoetan, zein idealak jarraitzen duten lehen izaten galderari, erantzun osoa ematen dio Fermaten bi karraturen batuketei buruzko teoremari. Horrek esan nahi du p zenbaki lehen bakoiti baterako, p Z[i] ideal lehena dela p ≡ 3 (mod 4) bada eta ez dela ideal lehena p ≡ 1 (mod 4) bada. Horrek, (1 + i)Z[i] ideal lehena dela dioen behaketarekin batera, zenbaki gaussiar osoen ideal lehenen deskribapen osoa ematen du. Emaitza sinple hori zenbaki oso orokorragoen eraztunetara orokortzea zenbaki aljebraikoen teorian oinarrizko arazoa da. Klaseen eremu-teoriak helburu hori lortzen du K luzapen abeldarra denean Q-rena (hau da, Galois-en luzapen bat Galois talde abeldarra duena).

Faktorizazio bakarrak soilik huts egiten du lehen izaten huts egiten duten ideal lehenak soilik baldin badaude. Ideal lehenen porrota lehen izateko neurtzen duen objektuari klase talde ideala deitzen zaio. Klase talde ideala definitzeko, idealen multzoa zenbaki oso aljebraikoen eraztun batetik zabaltzea eskatzen du, talde-egitura onartzen dutelako. Hori idealak zatiki idealetara orokortuz egiten da. Ideal zatiki bat K-ren J azpitalde gehigarri bat da, O-ren elementuen biderkaduraz itxita dagoena; hau da, xJ ⊆ J x ∈ O dela. O-ren ideal guztiak ere ideal zatikiak dira. I eta J zatiki-idealak badira, orduan, I-ko elementu baten eta J -ko elementu baten produktu guztien IJ multzoa ere ideal zatikia da. Eragiketa horrek zero ez diren zatiki idealen multzoa talde bihurtzen du. Taldearen identitatea ideala da (1) = O, eta J -ren alderantzizkoa zatidura ideal (orokortua) da:

${\displaystyle J^{-1}=(O:J)=\{x\in K:xJ\subseteq O\}.}$

Zatiki Ideal nagusiak, hau da, Ox formakoak, non x ∈ K^×, zero ez diren, zatiki ideal guztien taldearen azpitalde bat osatzen dute. Azpitalde horren arabera, zero ez diren zatiki idealen taldearen zatidura klase talde ideala da. Bi ideal zatikiko I eta J ideal klase-taldearen elementu bera adierazten dute, baldin eta x ∈ K elementu bat existitzen bada, hau da, xI = J. Beraz, klase talde idealak bi ideal zatiki baliokide bihurtzen ditu bata lehenetik bestea bezain hurbil badago. Klase talde ideala Cl K, Cl O edo Pic O bezala adierazi ohi da (azken notazio horrek, geometria aljebraikoan, Picard taldearekin identifikatzen duelarik).

Klase-taldeko elementu kopuruari K klase-zenbakia deitzen zaio. Q(√-5) klasearen zenbakia 2 da. Horrek esan nahi du bi klase ideal soilik daudela, zatiki-ideal nagusien klasea eta (2, 1 + √-5) bezalako zatiki ideal ez-nagusi baten klasea.

Klaseko talde idealak beste deskribapen bat du zatitzaileei dagokienez. Horiek zenbakien faktorizazio posibleak adierazten dituzten objektu formalak dira. Div K zatitzaile taldea O-ren ideal nagusiek barne hartzen duten talde abeliar askea bezala definitzen da. K^×-ren talde-homomorfismoa dago, K-ren nuluak ez diren elementuetatik biderketara, K zatiketa K}}. Demagun x ∈ K betetzen duela

${\displaystyle (x)={\mathfrak {p}}_{1}^{e_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{t}^{e_{t}}.}$

Orduan, div x zatitzaile gisa definitzen da

${\displaystyle \operatorname {div} x=\sum _{i=1}^{t}e_{i}[{\mathfrak {p}}_{i}].}$

div-ren nukleoa O-ren unitateen taldea da, cokernel-a klase idealen taldea den bitartean. Aljebra homologiakoaren hizkuntzan, horrek dio talde abeldarren segida zehatz bat dagoela (biderkabidez idatzita),

${\displaystyle 1\to O^{\times }\to K^{\times }{\xrightarrow {\text{div}}}\operatorname {Div} K\to \operatorname {Cl} K\to 1.}$