Yvonne Choquet-Bruhat

Choquet-Bruhaten ikerketarik ezagunena erlatibitate orokorreko datuen hasierako formulazioaren izaera matematikoa da. Emaitzen laburpena objektu geometriko diferentzial estandar hutsetan jar daiteke:

• (M, g, k) hasierako datu-multzoa hirukoitza da, non M hiru dimentsioko barietate leuna den, g Riemannian metrika leuna den M-n, eta k (0,2) eremu-tentsore leuna M-n.
• (M, g, k) hasierako datu-multzo bat emanda, (M, g, k)-ren garapen bat lau dimentsioko barietate Lorentziar bat da, (M, g), ondorengo baldintzak betetzen dituena: (1) f : M → M inkrustazio-sakonera leuna dauka eta (2) f bektore unitario normal leun bat zeinak f ^*g = g betetzen duen eta zeinaren bigarren forma fundamentala, eremu bektore normalari dagokionez, k den.

Zentzu honetan, hasierako datu-multzo bat barietate Lorentziar batean txertatutako hiperplano espazial baten azpimultzoaren geometriaren preskripzio gisa ikus daiteke.

• (M, g, k) hasierako datu-multzo batek hutseango murrizketen ekuazioak betetzen ditu, edo hutseango hasierako datuen multzoa dela esaten da, bi ekuazio hauek betetzen badira:

${\displaystyle {\begin{aligned}R^{g}-|k|_{g}^{2}+(\operatorname {tr} ^{g}k)^{2}&=0\\\operatorname {div} ^{g}k-d(\operatorname {tr} ^{g}k)&=0.\end{aligned}}}$

Hemen R^g-k g-ren Ricciren kurbadura eskalarra adierazten du.

Choquet-Bruhaten 1952ko emaitza seminaletako batek honako hau dio:

Ingelesezko bertsioa: Every vacuum initial data set (M, g, k) has a development f : M → (M, g) such that g has zero Ricci curvature, and such that every inextendible timelike curve in the Lorentzian manifold (M, g) intersects f(M) exactly once.

Itzulitako bertsioa: (M, g, k) hasierako huts-datu multzo bakoitzak f : M → (M, g) garapen bat du, non f : M → (M, g)-k 0 balioko Ricci kurbadura duen, eta halako moldez non (M, g) Lorentziar barietateko denbora-kurba hedaezin bakoitzak f(M) behin baino ez duen ebakitzen.

Labur esanda, honela laburbil daiteke hori: (M, g) hutseango espaziodenbora da, eta f(M) Chauchy azalera da. Garapen horri hutsaren garapen globalki hiperbolikoa esaten zaio. Choquet-Bruhatek ere bakaltasun-teorema bat frogatu zuen:

Ingelesezko bertsioa: Given any two globally hyperbolic vacuum developments f1 : M → (M1, g1) and f2 : M → (M2, g2) of the same vacuum initial data set, there is an open subset U1 of M1 containing f1(M) and an open subset U2 of M2 containing f1(M), together with an isometry i : (U1, g1) → (U2, g2) such that i(f1(p)) = f2(p) for all p in M.

Itzulitako bertsioa: Edozein garapen huts hiperboliko global bi, f1 : M → (M1, g1) eta f2 : M → (M2, g2), izanik, zeinak hasierako datu-multzo huts berberekoak diren, M1-en U1 azpimultzo ireki bat dago, f1(M) barne hartzen duena, eta M2-ren U2 azpimultzo ireki bat, f1(M) barne hartzen duena, isometria batekin batera: i : (U1, g1) → (U2, g2) non M-ko p guztietan i(f1(p)) = f2(p) den.

Modu sinplean, honela dio: M Ricci barietate Lorentziar batean txertatutako M hiperazal espazial bat izanik, M-tik gertu dagoen M-ren geometria M-ren geometria azpibarietateak erabat zehazten du.

Robert Gerochekin 1969an idatzitako artikulu batean, Choquet-Bruhatek erabat argitu zuen berezitasunaren izaera. Zornen lemma erabiliz eta bi orrialdeko argudioarekin, Choquet-Bruhaten existentziaren eta berezitasunaren teoremek automatikoki banakotasunaren teorema orokor bat inplikatzen dutela frogatu zuten:

Ingelesezko bertsioa: Any vacuum initial data set (M, g, k) has a maximal globally hyperbolic vacuum development, meaning a globally hyperbolic vacuum development f : M → (M, g) such that, for any other globally hyperbolic vacuum development f1 : M → (M1, g1), there is an open subset U of M containing f(M) and an isometry i : M1 → U such that i(f1(p)) = f(p) for all p in M. Any two maximal globally hyperbolic vacuum developments of the same vacuum initial data are isometric to one another.

Itzulitako bertsioa: Edozein (M, g, k) hutseko hasierako datuen multzok garapen huts hiperboliko maximo globala du, hau da, f : M → (M, g) huts-garapen hiperboliko globala zeinarentzako beste edozein f1 : M → (M1, g1) huts-garapen hiperboliko globalarentzako M-ren U azpimultzoa existitzen den, f(M) barne hartzen duena eta ondorengo isometria: i : M1 → U non M-ko p guztietarako i(f1(p)) = f(p) den. Hasierako datu huts beraren bi hutsune hiperboliko maximoak isometrikoak dira elkarrentzat.

Orain ohikoa da gertaera horiek aztertzea. Adibidez, Demetrios Christodoulou eta Sergiu Klainermanen teorema ezagunak, Minkowskiren espazioaren egonkortasunari buruzkoak, ondorengoa dio: (ℝ³, g, k) hutseango hasierako datu-multzo bat bada, g eta k zerotik nahikoa gertu dituena (modu zehatzean), haren garapen hiperboliko global maximoa geodesikoki osoa eta geometrikoki hurbilekoa izango da Minkowskiren espaziotik.

Choquet-Bruhaten frogak koordenatuen aukeraketa adimentsu bat erabiltzen du, uhin-koordenatuak (koordenatu harmonikoen Lorentziar baliokidea direnak), non Einsteinen ekuazioak ekuazio diferentzial partzial hiperbolikoen sistema bat bihurtzen diren, eta ekuazio horietarako "ondo planteatutako" (well-posed) emaitzak aplika daitezke.

• Fourès-Bruhat, Y. Théorème d'existence pour certains systèmes d'équations aux dérivées partielles non linéaires. Acta Math. 88 (1952), 141–225. doi:10.1007/bf02392131 Bibcode: 1952AcM....88..141F Zbl 0049.19201 MR53338
• Choquet-Bruhat, Yvonne; Geroc53338h, Robert. Global aspects of the Cauchy problem in general relativity. Comm. Math. Phys. 14 (1969), 329–335. doi:10.1007/BF01645389 MR0250640

Ikerketa artikuluak:

• Bruhat, Yvonne. Cauchyren problema (The Cauchy problem). Grabitazioa: gaur egungo ikerketari buruzko sarrera bat, 130–168, Wiley, New York, 1962.
• Choquet-Bruhat, Yvonne; York, James W., Jr. Cauchyren problema (The Cauchy problem). Erlatibitate orokorra eta grabitazioa, Vol. 1, or. 99–172, Plenum, New York -Londres, 1980.
• Choquet-Bruhat, Yvonne. Energia positiboen teoremak (Positive-energy theorems). Erlatibitatea, taldeak eta topologia, II (Les Houches, 1983), 739–785, North-Holand Publishing Co., Amsterdam, 1984.
• Choquet-Bruhat, Yvonne. Erlatibitate orokor matematikoko emaitzak eta problema irekiak (Results and open problems in mathematical general relativity.) Milan J. Math. 75 (2007), 273–289.
• Choquet-Bruhat, Yvonne. Cauchyren problemaren hasiera Einsteinen eremu-ekuazioetarako (Beginnings of the Cauchy problem for Einstein's field equations). Geometria diferentzialeko inkestak 2015. Erlatibitate orokorraren ehun urte (one hundred years of general relativity), 1–16, Surv. Differ. Geom., 20, Int. Press, Boston, MA, 2015.

Liburu teknikoak

• Choquet-Bruhat, Yvonne; DeWitt-Morette, Cécile; Dillard-Bleick, Margaret. Analisia, barietateak eta fisika (Analysis, manifolds and physics). Bigarren edizioa. North-Holland Publishing Co., Amsterdam-New York, 1982. xx+630 or.  ISBN 0-444-86017-7
• Choquet-Bruhat, Yvonne; DeWitt-Morette, Cécile. Analisia, barietateak eta fisika. II. zatia (Analysis, manifolds and physics. Part II). North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1989. xii+449 or.  ISBN 0-444-87071-7
• Choquet-Bruhat, Y. Distributions. (Frantsesez) Théorie et problèmes. Masson et Cie, Publiceurs, Paris, 1973. x+232 or.
• Choquet-Bruhat, Yvonne. Erlatibitate orokorra eta Einsteinen ekuazioak (General relativity and the Einstein equations). Oxford Mathematical Monographs. Oxford University Press, Oxford, 2009. xxvi+785 or.  ISBN λ0-19-923072-3
• Choquet-Bruhat, Y. Géométrie différentielle et systèmes extérieurs. A. Lichnerowiczen Préfacea. Monographies Universitaires de Mathématiques, No. 28 Dunod, Paris 1968 xvii+328 pp.
• Choquet-Bruhat, Yvonne. Sailkatutako sorta eta supebarietateak (Graded bundles and supermanifolds). Monographs and Textbooks in Physical Science. Lecture Notes, 12. Bibliopolis, Napoli, 1989. xii+94 pp.  ISBN 88-7088-223-3
• Choquet-Bruhat, Yvonne. Erlatibitate orokorrerako, zulo beltzetarako eta kosmologiarako sarrera (Introduction to general relativity, black holes, and cosmology). Thibault Damour-en hitzaurre batekin. Oxford University Press, Oxford, 2015. xx+279 or.  ISBN ά0-19-966645-4, ί0-19-966646-1
• Choquet-Bruhat, Y. Problemak eta ebazpenak fisika matematikoan (Problems and solutions in mathematical physics). C. Peltzerrek frantsesetik ingelesera itzulia. Itzulpen-editorea, J.J. Brandstatter Holden-Day, Inc., San Francisco, Kalifornia.-Fin-Amsterdam 1967 x+315 or.

Liburu ezagun eta herri-liburuak

• Choquet-Bruhat, Yvonne. Emakume matematiko bat unibertso bitxi honetan: oroitzapenak. (A lady mathematician in this strange universe: memoirs) Jatorrizko frantsesetik itzulia, 2016. World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., Hackensack, NJ, 2018. x+351 or. ISBN 978-981-3231-62-7 

• Médaille d'Dirudu Centre National de la Recherche Scientific, 1958
• Prix Henri de Parville of the Académie des Sciences, 1963
• Partaidea (1965etik), Comite International de Relativite Generale et Gravitation (errektorea 1980-1983). [3]
• Parteidea, Académie des Sciences, Paris (1979an hautatua)
• 1985ean Arte eta Zientzien Akademia Amerikarreko kide hautatua.
• Association for Women in Math Noether Lecturer, 1986
• Commandeur de la Légion d'honneur, 1997
• Commandeur de la Légion d'honneur (Fisika Matematikoko Dannie Heineman saria), 2003
• 2008an "Grand Officier" eta "Grand Croix" ohoreak jaso zituen Légion d'Honneurren.

• XX. mendeko emakumeek fisikari egindako ekarpenak'
• "Yvonne Choquet-Bruhat", Biographies of Women Mathematicians, Agnes Scott College
• (Ingelesez) Christina Sormani, C. Denson Hill, Paweł Nurowski, Lydia Bieri, David Garfinkle, and Nicolás Yunes. (2017). «A two-part feature: The Mathematics of Gravitational waves» Notices of the American Mathematical Society (American Mathematical Society) 64 (7): 684–707.  doi:10.1090/noti1551. ISSN 1088-9477..