Urtebetetzeen ebazkizuna

Kalkuluak egiteko, bisurterik ez dagoela eta urtebetetze egunak urtean uniformeki, probabilitate berdinez alegia, banatzen direla pentsatuko da, urtesasoiaren eta hilabetearen araberako inongo aldakortasunik gabe. Errealitatean ordea, suposizio hauek ez dira egiazkoak[1], baina hurbilketa moduan onargarriak dira. Hala ere, aipatu behar da urtebetetze egunak uniformeki banatzen ez badira, gutxienez kointzidentzia bat izateko probabilitatea handiagoa erabateko uniformetasunezko kasuan baino dela frogatu dela (izan ere, egun batzuetan pertsona gehiago pilatzen baitira, eta horrela kointzidentzia izateko aukerak handiagoak dira[1].

Uste hauen pean, n lagun kopurua 365 baino handiagoa denean, gutxienez kointzidentzia bat izateko probabilitatea 1 da, usategi printzipioarengatik. Kalkuluak beraz, n ≤ 365 kasuetarako burutzen dira.

p(n) izendatuko dugu gutxienez n pertsonako multzo batean urtebetetze egun berdinen bat suertatzeko probabilitatea. Errazagoa da ordea ${\displaystyle {\overline {p}}(n)}$ urtebetetze egun guztiak ezberdinak izateko probabilitatea honela[2] kalkulatzea:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {p}}(n)&=1\times \left(1-{\frac {1}{365}}\right)\times \left(1-{\frac {2}{365}}\right)\cdots \left(1-{\frac {n-1}{365}}\right)\\&={365\times 364\cdots (365-n+1) \over 365^{n}}\\&={365! \over 365^{n}(365-n)!}\end{aligned}}}$

Gertakizunen aurkakotasuna erabiliz:

${\displaystyle {\overline {p}}(n)=1-p(n)}$

Honako taulan n ezberdinetarako p(n) probabilitateak azaltzen dira:

Kalkuluak erosoago egiteko, kointzidentziaren bat izateko probabilitatearen hurbilketak asmatu dira.

Zehaztasun handiko lehenengo hurbilketa batek funtzio esponentzialaren Taylorren garapen hau erabiltzen du:

${\displaystyle e^{-x}=1-x+{\frac {x^{2}}{2!}}-\cdots \approx 1-x}$

Horrela, kointzidentziarik ez izateko probabilitatetik abiatuz:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {p}}(n)&=1\times \left(1-{\frac {1}{365}}\right)\times \left(1-{\frac {2}{365}}\right)\cdots \left(1-{\frac {n-1}{365}}\right)\\&\approx 1\times e^{-1/365}\times e^{-2/365}\cdots e^{-(n-1)/365}\\&=1\times e^{-(1+2+\cdots +(n-1))/365}\\&=e^{-(n(n-1)/2)/365}\\&\approx e^{-n^{2}/(2\times 365)}.\end{aligned}}}$

Beraz, kointzidentziaren bat izateko probabilitatea honela hurbil daiteke:

${\displaystyle p(n)\approx 1-e^{-n^{2}/(2\times 365)}}$

Bigarren hurbilketa batek koefiziente binomialak eta Poissonen banaketa erabiltzen ditu. Zoriz aukeraturiko pertsonak urtebetetze egun ezberdina izateko probabilitatea 364/365 da, Laplaceren erregela erabiliz. n pertsonako multzo batean, ${\displaystyle {n \choose 2}}$ pertsona bikote ezberdin aukeratu daitezkeenez, eta beraien arteko urtebetetze kointzidentzia ezak erabat independenteak direnez, n pertsonako multzoan kointzidentziarik ez izateko probabilitatea, biderketa erregela erabiliz hau izango da:

${\displaystyle p(n)={\Bigg (}{\frac {364}{365}}{\Bigg )}^{n \choose 2}}$

Kointzidentziaren bat izateko probabilitatea beraz hau izango da:

${\displaystyle p(n)=1-{\Bigg (}{\frac {364}{365}}{\Bigg )}^{n \choose 2}}$

Azken hau ${\displaystyle X\sim B{\Big (}{\text{n}}={n \choose 2},p={\frac {1}{365}}{\Big )}}$ banaketa binomialaren ${\displaystyle P{\big (}X>0{\big )}}$ probabilitatea besterik ez da. Banakuntza binomial honetan, n handia eta p txikia denez, banaketa binomialaren hurbilketa gisa Poissonen banaketa erabil daiteke:

${\displaystyle X\sim B{\Bigg (}{\text{n}}={n \choose 2},p={\frac {1}{365}}{\Bigg )}\approx P{\Bigg (}\lambda ={n \choose 2}\cdot {\frac {1}{365}}{\Bigg )}}$

Adibidez, 23 pertsonako talde batean gutxienez kointzidentzia bat izateko probabilitatea honela hurbil daiteke:

${\displaystyle X\sim P{\Bigg (}\lambda ={23 \choose 2}\cdot {\frac {1}{365}}=0.6932{\Bigg )}}$

${\displaystyle p(n)=P{\Big (}X>0{\Big )}=1-P{\Big (}X=0{\Big )}=1-e^{-0.6932}=0.500002.}$

Gutxienez kointzidentzia bat izateko probabilitate jakin baterako beharrezko den gutxienezko jende kopurua ere kalkula daiteke. Horretarako, aurreko ataleko lehenengo hurbilketa erabiltzen da.

${\displaystyle e^{-x}<1-x}$ betetzen denez:

${\displaystyle {\bar {p}}(n)=\prod _{k=1}^{n-1}\left(1-{k \over 365}\right)<\prod _{k=1}^{n-1}\left(e^{-k/365}\right)=e^{-(n(n-1))/(2\times 365)}.}$

Arestiko adierazpena hurbilketa bat izateaz gainera, kointzidentziarik ez izateko probabilitateari buruzko goi borne bat ere bada.

Beraz, aurrez ezarritako ${\displaystyle {\bar {p}}(n)=p}$ finko baterako:

${\displaystyle e^{-(n(n-1))/(2\times 365)}=p\rightarrow n^{2}-n=2\times 365{\text{ln}}{\frac {1}{p}}\rightarrow {\bar {p}}(n)<p}$

Adibidez, kointzidentziarik ez izateko gehienezko 0.2ko probabilitatera (edo gutxienez kointzidentzia bat izateko izateko gutxienezko 0.8ko probabilitatera) heldu nahi bada:

${\displaystyle n^{2}-n=2\times 365{\text{ln}}{\frac {1}{0.2}}=1174.89\rightarrow n=34.78}$

Beti gehiegiz biribilduz, 35 pertsonako talde bat osatu beharko eskatutako probabilitatera heltzeko.

Pertsonak gela batera sartu ahala, lehenengo kointzidentzia duen pertsona zenbatgarrena izango den ere azter daiteke. Horretarako ${\displaystyle p(n)-p(n-1)}$ balioak handiagotzen dituen n balioa kalkulatu behar da. Balio hau 20 da. Beraz, 20. pertsona da aurreko batekin kointzidentzia izateko probabilitate handiena duena.

Urtebetetze ebazkizunean, urtebetetze egun bera duten pertsonak edozein izan daitezke. Pertsona jakin bat zehazten bada, berriz, beste n lagun dituen gela batean aukeratutako pertsonaren urtebetetze egun bera duen pertsona bat gutxienez izateko q(n) probabilitatea azter daiteke:

${\displaystyle q(n)=1-\left({\frac {365-1}{365}}\right)^{n}.}$

Adibidez n=100 pertsonako talde batean, beste pertsona baten urtebetetze berdina duen pertsona bat gutxienez izateko probabilitatea q(n=100)=0.24 da. Arestiko taula batera jotzen bada, 100 pertsonako talde batean kointzidentzia bat gutxienez, pertsona guztietan, izateko probabilitatea %99.99997 dela.

n pertsonako talde batean, k binakako kointzidentzia izateko probabilitatea hau da[3] :

${\displaystyle p_{k}(n)={\frac {n!365!}{k!365^{n}2^{k}(n-2k)!(365-n+k)!}},\ 0\leq k\leq (n/2).}$

k=0 denean: ${\displaystyle p_{k=0}(n)={\bar {p}}(n)\,}$

d eguneko epe batean baten buruan, guztira m urtebetetze egun ezberdin daudela, r pertsonatan gutxienez kointzidentzia bat izateko probabilitatea hau da[1]:

${\displaystyle p(n;d,m)=1-{\frac {[m-(n-1)(d-1)]!}{[m-(n-1)(d-1)-r]!m^{n}}},\ m\geq (n-1)(d-1).}$

m=365 eta d=1 balioak ezarriz, urtebetetzeen ebazkizunaren bertsio arrunteko probabilitatea ateratzen da.

d=2 ezarriz, berriz, hau da 2 eguneko epe batean barnean, betiere m=365 egunetan zehar, 5 pertsonako talde batean 0.08ko probabilitatea dago kointzidentziaren bat izateko (urtebetetzea egun berean, bezperan edo biharamunean izateko alegia), 0.315eko probabilitatea 10 pertsonako talde batean, 0.483 13 pertsonatarako, 0.537 14 pertsonatarako, 0.804 20 pertsonatarako eta 0.888 23 pertsonatarako.

7 eguneko epea ezartzen bada, hau da, astebete baten buruan kointzidentzia izateko probabilitatea 0.5 baino handiagoa da 7 pertsona edo gehiagoko talde baterako.

Urtebetetze ebazkizuna hainbat eratara orokortu daiteke. Bitez n zoriz aukeratutako n zenbaki oso, [1,d] eremua duen banaketa uniforme diskretu bateko n alegia. Zenbatekoa da gutxienez bi zenbaki berdinak izateko p(n;d) probabilitatea?

${\displaystyle p(n;d)={\begin{cases}1-\prod _{k=1}^{n-1}\left(1-{k \over d}\right)&n\leq d\\1&n>d\end{cases}}}$

Probabilitate hurbila hau izango da:

${\displaystyle p(n;d)\approx 1-e^{-(n(n-1))/2d}}$

Zenbaki bat zehazturik, n zenbakietan zehazturiko zenbakiaren berdinen bat izateko probabilitatea (zehazturiko zenbakiaren berdina den gutxienez zenbaki bat izateko probabilitatea) hau da:

${\displaystyle q(n;d)=1-\left({\frac {d-1}{d}}\right)^{n}}$

p(n;d) probabilitate bat zehazturik, gutxienez kointzidentzia bat izateko probabilitate hori ematen duen n zenbaki kopurua, berriz, hau da:

${\displaystyle n(p;d)\approx {\sqrt {2d\ln \left({1 \over 1-p}\right)}}}$

Richard von Mises matematikariak aztertu zuen 1939. urtean lehen aldiz urtebetetzeen ebazkizuna, baina hori baino lehenago proposatu eta aztertua izan zela dirudi [4].

• (Gaztelaniaz) ARANDA, Moisés, MOLINA, Fabio, MORENO, Vladimir, El problema del cumpleaños: una generalización, Universitas Scientiarum, Vol. 13 N° 1, 5-10.
• (Ingelesez) DASGUPTA, Anirban, The matching, birthday and the strong birthday problem: a contemporary review., Journal of Statistical Planning and Inference, 130 bol., 1-2 zbk., 2005-03-01. 377-389 orr.
• (Ingelesez) DIACONIS, Persi; MOSTELLER, Frederick, Methods for Studying Coincidences, Journal of the American Statistical Association, Vol. 84, No. 408, 1989ko abendua. 853-861 orr..
• (Ingelesez) PETERSON, I., Birthday surprises, Science News, 1998-11-21.

• (Ingelesez) The Birthday Paradox: Combinatorics, Probability of Duplication, Coincidences, Collisions, Lottery, Roulette, Social Security Number (SSN), Genetic Code, DNA, ebazkizunaren azalpena, aplikazioekin batera.
• (Ingelesez) Birthday Problem,Wolfram Mathworld.