Uhin fardel

Fisika klasikoko uhin ekuazioa betetzen duen edozein pertubazio, ez-dispertsiboa izango da:

${\displaystyle \ \ {\frac {\partial u^{2}}{\partial t^{2}}}=v^{2}\cdot \nabla ^{2}u}$

non ${\displaystyle v}$, uhinen propagazio abiadura den. Aldagai bereizketa erabiliz hurrengo soluzioa aurki daiteke; ${\displaystyle u(x,y,z,t)=Ae^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} -\omega t)}}$ non ${\displaystyle {\bf {x}}=(x,y,z)}$ posizio bektorea den, eta ${\displaystyle \mathbf {k} =(k_{x},k_{y},k_{z})}$ uhin bektorea den. Uhin hauetan, eta ondorioz uhin fardeletan, honako erlazioa betetzen duet uhin zenbakiak eta abidura angeluarrak: ${\displaystyle \omega ^{2}=|k|^{2}v^{2}}$. Erlazio honi, dispertsio erlazioa deritzo. Kontsideratu dimentsio bakarreko honako soluzioa;  ${\displaystyle u(x,t)=A\cdot e^{i(kx-wt)}+B\cdot e^{-i(kx+wt)}}$ non uhinaren osagai bat noranzko positiboan hedatzen den, eta bestea noranzko negatiboan.

Uhin fardel bat sortzeko espazioko puntu zehatz batean, uhin zenbaki ezberdineko uhin-formak batu behar dira, hau da, ${\displaystyle u(x,t)}$ kitzikapena sortzeko ${\displaystyle t=0}$ aldiunean ${\displaystyle A(k)}$ anplitude funtzioaren arabera batu behar dira uhin-formak. Hau, Fourieren transformatua eta antitransformatuaren bidez adierazi ahal da, demagun ${\displaystyle u(x,0)=e^{-x^{2}+ik_{0}x}}$ kitzikapena duela hasierako aldiunean:

Uhin fardel ez-dispertsiboa

${\displaystyle \ \ A(k)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }u(x,0)\cdot e^{-ikt}dx={\frac {1}{\sqrt {2}}}e^{-{\frac {(k-k_{0})^{2}}{4}}}}$

izango da batu behar diren uhin zenbaki bakoitzerako dagokion amplitudeak. Eta:

${\displaystyle \ \ u(x,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }A(k)\cdot e^{ikx-kct}dk=e^{-(x-ct)^{2}+ik_{0}(x-ct)}}$

izango da uhin fardelaren bilakaera denboran. Ondoko animazioan ikusi dezakegunez, uhin fardela espazioan zehar mugitzen da noranzko positiboan, forma mantenduz.

Uhin fardel dispertsiboa

Badago ere beste uhin fardel mota bat, non ingurune batean zehar joan ahala, beren  forma aldatzen dute bertan. Honen adibide bat, aurkitu ahal dugu Schrödinger ekuazioaren soluzioetan.

Demagun, ${\displaystyle i\hbar {\partial \Psi \over \partial t}=-{\hbar ^{2} \over 2m}{\partial ^{2}\Psi \over \partial ^{2}x}}$ Schrödinger-en uhin ekuazioaren soluzioa den erako uhin bat non ${\displaystyle \omega ={\hbar \over 2m}|k|^{2}}$ erlazioa betetzen duen, eta demagun honako kitzikapen bat dugula ${\displaystyle t=0}$ alduinean:

${\displaystyle \ \ \Psi (x,0)={\sqrt[{4}]{2 \over \pi }}e^{-x^{2}+ik_{0}x}}$

Fourieren analisia eginez, honako bilakaera ikusten da uhin fardelarako:

${\displaystyle \ \ \ \Psi (x,t)={\sqrt[{4}]{\frac {2}{\pi }}}{1 \over {\sqrt {1+2it}}}e^{{-1 \over 4}(k_{0})^{2}}e^{{-1 \over {1+2it}}(x-{ik_{0} \over 2})^{2}}={\sqrt[{4}]{\frac {2}{\pi }}}{1 \over {\sqrt {1+2it}}}e^{{-1 \over {1+4t^{2}}}(x-{k_{0}t})^{2}}e^{{i \over {1+4t^{2}}}((k_{0}+2tx)x-{{t \over 2}(k_{0})^{2}})}}$

Ondoko probabilitate dentsitate uhinaren bilakaera denboran zehar. Ikus dezakegunez bere profila sakabanatzen da, nahiz eta talde abiadura konstante izan.

Eta haren probabilitate dentsitatea:

${\displaystyle \ \ \left|\Psi (x,t)\right|^{2}={\sqrt {\frac {2}{\pi (1+4t^{2})}}}\ e^{-{\frac {2}{1+4t^{2}}}(x-k_{0}t)^{2}}}$

Hemen argi ikusten da (ondoko animazioan), nahiz eta talde abiadura (${\displaystyle k_{0}}$) bera izan, denboran joan ahala dispertsioa handitzen da, hau da, probabilitatearen zati handiena denbora pasa ahala espazio mugatu handiago batean aurkitu ahal da, eta ondorioz, azkenean espazioan “desagertzen” da uhin fardela, hala ere, ${\displaystyle A(k)}$ amplitude funtzioa konstantea mantentzen da. Fenomeno hau, bat dator Heisenberg-en ziurgabetasunaren printzipioarekin.