Txebixeven desberdintza

${\displaystyle \scriptstyle \mu \,}$ itxaropena eta ${\displaystyle \scriptstyle \sigma ^{2}\,}$ bariantza finitua dituen probabilitate banaketa batean,

• muturretako probabilitaterako,

${\displaystyle \forall \epsilon >0,\ \ P\left(\left|X-\mu \right|\geq \epsilon \right)\leq {\frac {\sigma ^{2}}{\epsilon ^{2}}}.}$

• batezbestekoaren inguruko tarte simetriko bati dagokion probabilitaterako, muturretako balioek (aurreko adierazpenean) aurkako gertakizuna osatzen dutela kontuan hartuz,

${\displaystyle \forall \epsilon >0,\ \ P\left(\left|X-\mu \right|<\epsilon \right)\geq 1-{\frac {\sigma ^{2}}{\epsilon ^{2}}}.}$

Itxaropenerako distantzia desbideratze estandarraren unitatetan neurtzen bada, hau da, ε=kσ bihurtuz soilik, Txebixeven desberdintza honela geratzen da:

• muturretako probabilitaterako,

${\displaystyle \forall k>0,\ \ P\left(\left|X-\mu \right|\geq k\sigma \right)\leq {\frac {1}{k^{2}}}.}$

• batezbestekoaren inguruko tarte simetriko bati dagokion probabilitaterako,

${\displaystyle \forall k>0,\ \ P\left(\left|X-\mu \right|<k\sigma \right)\geq 1-{\frac {1}{k^{2}}}.}$

Txebixeven lehen aldaerako formula frogatuko da. Horretarako bariantzaren definiziotik abiatu behar da. ${\displaystyle \scriptstyle \epsilon >0}$ balio baterako eta X zorizko aldagai jarraitu baterako:

${\displaystyle \sigma ^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }(x-\mu )^{2}f(x)dx\geq \int _{|x-\mu |\geq \epsilon }(x-\mu )^{2}f(x)dx\ \ \ \ }$ (1)

Azken integralean,

${\displaystyle |x-\mu |\geq \epsilon \rightarrow (x-\mu )^{2}\geq \epsilon ^{2}}$

Beraz, (1) adierazpenera itzuliz,

${\displaystyle \int _{|x-\mu |\geq \epsilon }(x-\mu )^{2}f(x)dx\geq \int _{|x-\mu |\geq \epsilon }\epsilon ^{2}f(x)dx=\epsilon ^{2}\int _{|x-\mu |\geq \epsilon }f(x)dx=\epsilon ^{2}P[|x-\mu |\geq \epsilon ]\ \ \ \ \ }$ (2)

Eta, azkenik, (1) garapenaren abiapuntua eta (2) garapenaren bukaerako adierazpena lotuz:

${\displaystyle \sigma ^{2}\geq \epsilon ^{2}P[|x-\mu |\geq \epsilon ]\rightarrow P[|x-\mu |\geq \epsilon ]\leq {\frac {\sigma ^{2}}{\epsilon ^{2}}}}$

Zorizko aldagai diskretu baterako modu berean frogatzen da, integralaren ordez batukaria eta f(x) dentsitate-funtzioaren ordez p(x) probabilitate-funtzioa ezarriz.

${\displaystyle \scriptstyle Y=(X-E[X])^{2}\,}$ aldagaia sortuz, ${\displaystyle Y\,}$ aldagairako Markoven desberdintza balia daiteke, balio ez negatiboak hartu eta bere itxaropen matematikoa, definizioz X aldagaiaren bariantza alegia, existitzen baita. Beraz,

${\displaystyle P(Y\geq k^{2}E[Y])\leq {\frac {1}{k^{2}}}}$

Beste alde batetik, ${\displaystyle \scriptstyle E[Y]=E[(X-E[X])^{2}]=\sigma _{X}^{2}}$ betetzen denez:

${\displaystyle P(Y\geq k^{2}E[Y])=P(\ (X-E[X])^{2}\geq k^{2}\sigma _{X}^{2}\ )=P(|X-E[X]|\geq k\sigma _{X})}$

Beraz,

${\displaystyle P(|X-E[X]|\geq k\sigma _{X})\leq {\frac {1}{k^{2}}}}$[1]

Ondorengo frogapenak ez du kontuan hartzen banaketa jarraitua edo diskretua den eta ez du baliatzen Markoven desberdintza.[2]

x aldagaian oinarrituta, zorizko aldagai berri hau sortzen da:

${\displaystyle f(n)={\begin{cases}k^{2}\sigma _{X}^{2},&{\text{baldin }}|x-\mu _{x}|\geq k\sigma _{X}\\0,&{\text{baldin }}|x-\mu _{x}|<k\sigma _{X}\end{cases}}}$

Orduan,

${\displaystyle y\leq (x-\mu _{X})^{2}\rightarrow E[Y]=\sum yp(y)=k^{2}\sigma _{X}^{2}P[|x-\mu _{x}|\geq k\sigma _{X}]+0\times P[|x-\mu _{x}|<k\sigma _{X}]=k^{2}\sigma _{X}^{2}P[|x-\mu _{x}|\geq k\sigma _{X}]\leq E[(X-\mu _{X})^{2}]=\sigma _{X}^{2}}$

Hasierako eta bukaerako adierazpenak ${\displaystyle \scriptstyle k^{2}\sigma _{X}^{2}}$ adierazpenekin zatituz, Txebixeven desberdintza eskuratzen da:

${\displaystyle P[|x-\mu _{x}|\geq k\sigma _{X}]\leq {\frac {1}{k^{2}}}}$

Itxaropenaz eta bariantzaz gainera, banaketa simetrikoa dela ezartzen bada, mutur bakar baterako probabilitatea ezar daiteke, hurbildutako probabilitatea zati bi eginez:

${\displaystyle \forall x_{0}<\mu \ ;P[X<x_{0}]\leq {\frac {\sigma ^{2}}{2(\mu -x_{0})^{2}}}}$

${\displaystyle \forall x_{0}>\mu \ ;P[X>x_{0}]\leq {\frac {\sigma ^{2}}{2(x_{0}-\mu )^{2}}}}$

Parametro bati buruzko konfiantza-tarteak erabiltzen da, zenbateslearen lagin banaketari buruz itxaropena, konfidantza-tartea eratzeko parametroaren balioarekin bat etorri behar duena (hau da, zenbateslea alboragabea izan behar da) eta bariantza soilik ezagunak direnean. Konfidantza tarte jakin bat eratzeko jaso beharreko lagin-tamaina kalkulatzeko ere erabil daiteke.

Populazio guztietarako lagin-batezbestekoaren itxaropena eta desbideratze estandarra hauek dira, non ${\displaystyle \scriptstyle \mu }$ populazio-batezbestekoa den eta n lagin-tamainaa:

${\displaystyle \mu _{\overline {x}}=E[{\overline {x}}]=\mu }$

${\displaystyle \sigma _{\overline {x}}=var[{\overline {x}}]={\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}}$

Populazioa normala denean, gainera, lagin-batezbestekoa banaketa normalari jarraiki banatzen da eta beraz, konfiantza-tartea eratzeko banaketa normalean oinarritu behar da. Lagin-tamainaa handia denean (oro har, n>30) ere erabiliko da banaketa normala tartea eratzeko, limitearen teorema zentrala erabiliz, lagin-batezbestekoa normal banatzen baita kasu horretan. Beste kasu guztietan beraz, populazioa normaltzat jo ezin denean eta lagin-tamainaa txikia denean alegia, populazio-batezbestekoari buruzko konfiantza-tartea eratzeko Txebixeven desberdintza erabili behar da, arestian zehaztutako itxaropena eta bariantza baliatuz:

${\displaystyle P[|{\overline {x}}-\mu |<k\sigma ]\geq 1-{\frac {1}{k^{2}}}}$

Hortik konfiantza-tarte hau eratzen da, ${\displaystyle \scriptstyle 1-{\frac {1}{k^{2}}}}$ konfiantza-mailakoa:

${\displaystyle {\overline {x}}\pm k{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}}$

Adibidez, konfiantza-maila arruntetarako honela eratuko lirateke tarteak:

Konfiantza maila (${\displaystyle \scriptstyle 1-\alpha }$)	${\displaystyle \scriptstyle k={\sqrt {\frac {1}{1-(1-\alpha )}}}}$	Konfiantza-tartea
0.8	2.23	${\displaystyle \scriptstyle {\overline {x}}\pm 2.23{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}}$
0.9	3.16	${\displaystyle \scriptstyle {\overline {x}}\pm 3.16{\sigma }{\sqrt {n}}}$
0.95	4.47	${\displaystyle \scriptstyle {\overline {x}}\pm 4.47{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}}$
0.99	10	${\displaystyle \scriptstyle {\overline {x}}\pm 10{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}}$

Egoera guztietan ${\displaystyle \scriptstyle {\hat {p}}}$ lagin proportzioaren itxaropena eta desbideratzen estandarra hauek dira, non p populazio-proportzioa den eta n lagin-tamainaa:

${\displaystyle \mu _{\hat {p}}=E[{\hat {p}}]=p}$

${\displaystyle \sigma _{\hat {p}}=var[{\hat {p}}]={\sqrt {\frac {p(1-p)}{n}}}}$

Gainera, lagin-tamainaa handia denean (oro har, n>30) lagin-proportzioa banaketa normalaren bitartez hurbil daiteke eta orduan konfiantza-tartea gutxi gorabehera zehatza era daiteke. Lagin-tamainaa txikia denean, konfiantza-tartea eratzeko lagin-proportzioaren jatorriko banaketa den banaketa binomiala har daiteke oinarritzat, Clopper-Pearson tartea eratzeko ondoren. Beste soluzio bat, tarte zabalagoak (baina bide batez, zuhurragoak ere bai) ematen dituen arren, Txebixeven desberdintza erabiltzea da, arestiko itxaropena eta desbideratzeak erabiliz:

${\displaystyle P[|{\hat {p}}-p|<\epsilon ]\geq 1-{\frac {\sigma ^{2}}{\epsilon ^{2}}}=1-{\frac {p(1-p)}{n\epsilon ^{2}}}}$

Konfiantza maila modu zuhur batez finkatzearren, p proportzio ezjakintasunean, ${\displaystyle \scriptstyle 1-{\frac {p(1-p)}{nk^{2}}}}$ adierazpenak balio minimoa hartzen duela pentsatu behar da: hori ${\displaystyle \scriptstyle p(1-p)=1/4}$ adierazpenaren gehienezko balioa betetzen denean gertatzen da, kontuan hartuz p probabilitatea 0 eta 1 balioen artean egon behar dela. Beraz,

${\displaystyle P[|{\hat {p}}-p|<\epsilon ]\geq 1-{\frac {1}{4n\epsilon ^{2}}}}$

Hortik, konfiantza-tarte hau eratzen da:

${\displaystyle {\hat {p}}\pm \epsilon }$, non konfiantza ${\displaystyle 1-{\frac {1}{4n\epsilon ^{2}}}}$ den.

Ondorengo taulan, lagin-tamaina zenbaitetarako (lagin-tamainaa 30 edo handiagoa denean, hurbilketa normala erabil daiteke) eta gutxieneko ohiko konfiantza-mailetarako sortuko liratekeen tarteak azaltzen dira, aurreko formulatik abiatuta:

Lagin-tamainaa / Konfiantza-maila	%80	%90	%95	%99
n=3	${\displaystyle \scriptstyle {\hat {p}}\pm 0.645}$	${\displaystyle \scriptstyle {\hat {p}}\pm 0.913}$	-	-
n=5	${\displaystyle \scriptstyle {\hat {p}}\pm 0.559}$	${\displaystyle \scriptstyle {\hat {p}}\pm 0.790}$	-	-
n=10	${\displaystyle \scriptstyle {\hat {p}}\pm 0.354}$	${\displaystyle \scriptstyle {\hat {p}}\pm 0.500}$	${\displaystyle \scriptstyle {\hat {p}}\pm 0.707}$	-
n=15	${\displaystyle \scriptstyle {\hat {p}}\pm 0.289}$	${\displaystyle \scriptstyle {\hat {p}}\pm 0.408}$	${\displaystyle \scriptstyle {\hat {p}}\pm 0.577}$	-
n=20	${\displaystyle \scriptstyle {\hat {p}}\pm 0.250}$	${\displaystyle \scriptstyle {\hat {p}}\pm 0.354}$	${\displaystyle \scriptstyle {\hat {p}}\pm 0.500}$	-
n=25	${\displaystyle \scriptstyle {\hat {p}}\pm 0.224}$	${\displaystyle \scriptstyle {\hat {p}}\pm 0.316}$	${\displaystyle \scriptstyle {\hat {p}}\pm 0.447}$	-

Ikusten denez, Txebixeven desberdintzak oso konfiantza-tarte zabalak ematen ditu populazio-proportziorako, proportzioa [0,1] bitarteko balioak hartzen dituela kontuan hartuz. %99ko konfiantza-mailarako ezin da inongo tarterik zehaztu, kasu guztietan [0,1] mugetatik kanpo geratzen baita.

Txebixeven desberdintza zenbaki handien lege ahula frogatzeko erabiltzen da, zeinak batezbesteko aritmetiko sinpleak populazioko batezbesteko edo itxaropen matematikotik distantzia batetik harago urruntzeko probabilitatea, laginaren tamainaa handitu ahala, zerorantz doala baieztatzen duen:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\Pr \!\left(\,|{\overline {X}}_{n}-\mu |>\varepsilon \,\right)=0.}$

Txebixeven desberdintzak ezartzen duen probabilitate-muga hobezina dela esan daiteke, probabilitate-mugaren balioarekin bat datorren probabilitate-banaketa bati buruzko probabilitate zehatza existitzen delako. Txebixeven probabilitate-muga zehazki betetzen duten banaketak k-mugako banaketak direla esaten da. Hain zuzen, oinarrian honelakoak dira Txebixeven desberdintzaren k-mugako banaketak:

x	p(x)
-1	${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{2k^{2}}}}$
0	${\displaystyle \scriptstyle 1-{\frac {1}{k^{2}}}}$
1	${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{2k^{2}}}}$

Arestiko probabilitate-banaketan itxaropena eta desbideratze estandarra ${\displaystyle \scriptstyle \mu =0\ }$ eta ${\displaystyle \scriptstyle \sigma =1/k}$ hurrenik hurren direla jakinik eta Txebixeven desberdintza aplikatuz:

${\displaystyle P[|X-\mu |<k\sigma ]=P[|X|<1]\leq 1-{\frac {1}{k^{2}}}}$

Probabilitate zehatza Txebixeven desberdintzaren mugaraino doi-doi heltzen da:

${\displaystyle P[|X|<1]=P[X=0]=1-{\frac {1}{k^{2}}}}$

Froga daiteke aurreko probabilitate-banakuntzetarako burutzen den edozein y=mx+b motako aldagai aldaketen ondorioz sortutako probabilitate-banaketa berriak ere k balio bererako k-mugako banaketak direla. Hortik, x k-mugako banaketa orori, estandartuz, hau da, z=(x-μ)/σ aldaketa eginez, k-mugako banaketa estandar (batezbestekoa 0 eta desbideratzea 1 dituena, alegia) bakarra dagokiola froga daiteke.

Froga daiteke, beste alde batetik ez dagoela k-mugako probabilitate-banaketa jarraiturik.[3]

k-bildutako banakuntzetan probabilitateak, k balio jakin baterako, Txebixeven desberdintzak ezarritako probabilitate-mugatik urrutien dauden banaketak dira. Adibidez, Txebixeven desberdintzak P[80<X<120]≥0.60 betetzen dela ezartzen duen kasuetarako, k-bildutako banaketan P[80<X<120]=1 betetzen da. Arestiko atal batean, U(0,1) banaketa uniforme jarraitua k=2 baliotik gorako tarteetarako k-bildutako banaketa da. Zehatzago, probabilitate-banaketa bat k-bildutakoa dela esaten da ${\displaystyle \scriptstyle P[|X-\mu |<k\sigma ]=1}$, hots, ${\displaystyle \scriptstyle P[|X-\mu |\geq k\sigma ]=0}$ betetzen denean.

Itxaropenetik batez besteko desbideratzea dela ezartzen duen desbideratze estandarraren definizioan oinarrituz, argi dago ez dagoela k<1 balio baterako k-bildutako banaketarik: probabilitate-masa guztia ezin da bildu ${\displaystyle \scriptstyle \mu \pm \sigma }$ baino estuagoa den tarte batean, ${\displaystyle \scriptstyle \sigma }$ parametroak itxaropenetik batez besteko desbideratzea adierazten duelako. Hala ere, badira ia k-bildutako-banaketak direnak.[3] Probabilitate-banaketa hau definitzen bada, non ${\displaystyle \scriptstyle \mu =0}$ eta ${\displaystyle \scriptstyle \sigma ={\frac {1}{\sqrt {n}}}}$ betetzen diren:

x	p(x)
-1	${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{2n}}}$
0	${\displaystyle \scriptstyle 1-{\frac {1}{n}}}$
1	${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{2n}}}$

${\displaystyle \forall 0<k\leq 1\$ ;\ P[|X-\mu |<k\sigma ]=1-{\frac {1}{n}}} , zeinen limitea 1 den, n infiniturantz joan ahala.

Beste alde batetik, k-bildutako banaketa izatetik neurri jakin batean hurbil dauden banaketak ere gara daitezke, baina oro har funtzio konplexuak dira, batere balio praktikorik ez dutenak.[3]