Tunel-efektua

1. Irudia. Potentzial langa bat erasotzen duen uhin-fardelaren simulazioa. Uhin fardelaren zati batek langa zeharkatzen du.

Partikula baten uhin-funtzioak sistema fisiko bati buruz jakin daitekeen guztia laburbiltzen du [12].

Schrödingerren ekuazioa bezalako formulazio matematikoak erabiliz aurki daiteke uhin-funtzioa. Bere moduluaren karratua zuzenean dago erlazionatuta partikula espazioko puntu batean aurkitzeko probabilitatearekin.

Langa zenbat eta zabalagoa eta energia altuagokoa izan, orduan eta txikiagoa da tunelatzeko probabilitatea. Tunelatzearen eredu sinpleak, dimentsio bateko potentzial langa esaterako, aljebraikoki analiza eta ebatz daiteke. Horrelakoetan, oztopoaren barruan anplitude ez-nulua duen uhin-funtzioa da prozesuaren eredua. 1. irudiko simulazioak mota honetako sistema erakusten du.

Errealitateko mota honetako problemek askotan soluziorik ez dutenez, WKB hurbilketa bezalako metodo "semiklasikoak" garatu dira soluzio hurbilduak aurkitzeko.

Klasikoki, partikularen posizioa ${\displaystyle E\geq V(x)}$ deneko gunera dago mugatuta.

WKB (Wentzel-Kramers-Brillouin) hurbilketak koefiziente aldakorreko ekuazio diferentzial linealen soluzio hurbilduak ematen ditu. Bereziki erabilgarria da mekanika kuantikoko kalkulu semiklasikoak egiteko, zeinetan uhin funtzioa esponentzial gisa idatz daitekeen. Uhin funtzioaren anplitudea oso mantso aldatzen denean erabiltzen da. Ondoko forma duen soluzioa bilatuko da,[14]:

${\displaystyle \psi (x)=A(x)e^{i\phi (x)}}$

Deribatuak:

${\displaystyle {\frac {d\psi }{dx}}=(A'+iA\phi ')e^{i\phi },\quad {\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}=(A''+2iA'\phi '+iA\phi ''-A(\phi ')^{2})e^{i\phi }}$

Schrödingerren ekuazioa, ${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V(x)\psi =E\psi }$, horrela berridatz daiteke ${\displaystyle p(x)\equiv {\sqrt {2m[E-V(x)]}}}$ funtzioa definituz

${\displaystyle {\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}=-{\frac {p^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi }$

Gure soluzioa ordezkatuz

${\displaystyle A''+2iA'\phi '+iA\phi ''-A(\phi ')^{2}=-{\frac {p^{2}}{\hbar ^{2}}}A}$

Zati errealak eta irudikariak bananduz, hurrengo bi ekuazioak lortuko dira

${\displaystyle A''-A(\phi ')^{2}=-{\frac {p^{2}}{\hbar ^{2}}}A,\quad \mathrm {edo} \quad A''=A\left[(\phi ')^{2}-{\frac {p^{2}}{\hbar ^{2}}}\right]}$

${\displaystyle 2A'\phi '+A\phi ''=0,\quad \mathrm {edo} \quad (A^{2}\phi ')'=0}$

Bigarren ekuaziotik lortutako soluzioa hauxe da,

${\displaystyle A^{2}\phi '=C^{2},\quad \mathrm {edo} \quad A={\frac {C}{\sqrt {\phi '}}}}$

Lehenengo ekuazioko ${\displaystyle A''}$ arbuiagarria da

${\displaystyle (\phi ')^{2}={\frac {p^{2}}{\hbar ^{2}}},\quad \mathrm {edo} \quad {\frac {d\phi }{dx}}=\pm {\frac {p}{\hbar }}\Rightarrow \phi (x)=\pm {\frac {1}{\hbar }}\int p(x)dx}$

Beraz, soluzioa eta probabilitate banaketa ondoko hauek dira,

${\displaystyle \psi (x)\cong {\frac {C}{\sqrt {p(x)}}}e^{\pm {\frac {i}{\hbar }}\int p(x)dx},\qquad |\psi (x)|^{2}\cong {\frac {|C|^{2}}{p(x)}}}$

Hurbilketa hau baliagarria izateko, ezinbestekoa da ${\displaystyle E\neq V_{0}}$ izatea, bestela ${\displaystyle p(x)}$-k zerorantz joko luke, eta uhin funtzioak infiniturantz. Potentzial langa bertikala bada (hau da, ${\displaystyle 0}$-tik ${\displaystyle V}$-rako jauzia bat-batekoa bada) oso zaila da ${\displaystyle E=V}$ izatea. Hala ere, benetako kasuetan, malda ez da bertikala, eta orduan partikula aurki daitekeen puntuetako batean ${\displaystyle E=V}$ beteko da. Hori betetzen duten puntuei puntu kritiko deritze. Hain zuzen ere, klasikoki puntu kritiko hauetan partikulak buelta emango luke, baino kuantikoki hau ez da gertatzen. Hori dela eta, puntu hauetatik hurbil ekuazioa beste modu batean ebatzi behar da.

Eskuineko puntu kritikoa hurbiletik. Gune klasikoaren eta ez-klasikoaren arteko muga.

Lehendabizi, ${\displaystyle x=0}$ puntuan kokatuko da puntu hori translazio baten bitartez eta bi zatitan banatuko da lehen lortutako soluzioa, puntu kritikotik urrun baliagarria izan dadin:

${\displaystyle \psi (x)\cong \left\{{\begin{array}{l}{\frac {1}{\sqrt {p(x)}}}\left[Be^{{\frac {1}{\hbar }}\int _{x}^{0}p(x')dx'}+Ce^{-{\frac {1}{\hbar }}\int _{x}^{0}p(x')dx'}\right],&x<0\\{\frac {1}{\sqrt {p(x)}}}De^{-{\frac {1}{\hbar }}\int _{0}^{x}|p(x')|dx'},&x>0\end{array}}\right.}$

Potentzialaren hurbilketa lineala hartuko da

${\displaystyle V(x)\cong E+V'(0)\,x}$

Hori ordezkatuz, Schrödingerren ekuazioak forma hau hartzen du

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi _{p}}{dx^{2}}}+(E+V'(0)\,x)\psi _{p}=E\psi _{p}}$

Orduan ${\displaystyle \alpha \equiv \left[{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}V'(0)\right]^{1/3}}$ definituz eta ${\displaystyle z\equiv \alpha x}$ aldagai aldaketa eginez, ekuazio diferentziala horrela geratuko da

${\displaystyle {\frac {d^{2}\psi _{p}}{dx^{2}}}=\alpha ^{3}x\psi _{p}\quad \longrightarrow \quad {\frac {d^{2}\psi _{p}}{dz^{2}}}=z\psi _{p}}$

Horren soluzioak Airy-ren funtzioak dira. Hauen adierazpenak konplikatuak dira, baina ${\displaystyle 0}$-tik urrun hurrengo hurbilketak erabil daitezke

${\displaystyle \left.{\begin{array}{l}&Ai(z)\sim {\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}z^{1/4}}}e^{-{\frac {2}{3}}z^{3/2}}\\&Bi(z)\sim {\frac {1}{{\sqrt {\pi }}z^{1/4}}}e^{{\frac {2}{3}}z^{3/2}}\\\end{array}}\right\}\,z\gg 0\left.{\begin{array}{l}&Ai(z)\sim {\frac {1}{{\sqrt {\pi }}(-z)^{1/4}}}\sin \left[{\frac {2}{3}}(-z)^{3/2}+{\frac {\pi }{4}}\right]\\&Bi(z)\sim {\frac {1}{{\sqrt {\pi }}(-z)^{1/4}}}\cos \left[{\frac {2}{3}}(-z)^{3/2}+{\frac {\pi }{4}}\right]\\\end{array}}\right\}\,z\ll 0}$

Arreta berezia eskatzen duen gunea eta soluzioen bi gainezarmenak

Puntu kritikoetatik urrun WKB hurbilketa erabil daiteke, baina puntu kritikoetan ordea, ez. Hala ere, partikula baten higidura deskribatzeko funtzioek jarraituak izan behar dute. Hau betetzeko, hurbilketaren konstanteak Airyren funtzioen limite asintotikoekin doituko dira, eta horrela hurrengo uhin funtzioa lortuko da puntu kritikotik urrun. Ikusi puntu kritikoa hasierako posiziora (${\displaystyle x=x_{2}}$) itzuli dela, hasieran zerora eramateko translazioa deseginez.

${\displaystyle \psi (x)\cong \left\{{\begin{array}{l}{\frac {2D}{\sqrt {p(x)}}}\sin {\left[{\frac {1}{\hbar }}\int _{x}^{x_{2}}p(x')dx'+{\frac {\pi }{4}}\right]},&x<x_{2}\\{\frac {D}{\sqrt {p(x)}}}e^{-{\frac {1}{\hbar }}\int _{x_{2}}^{x}|p(x')|dx'},&x>{x_{2}}\end{array}}\right.}$

Transmisio eta islapen koefizienteak[15] aztertzeko, kasu erraz bat aukeratuko da: potentzial langa. ${\displaystyle V(x)=V_{0}}$ da ${\displaystyle 0<x<a}$ artean, eta ${\displaystyle 0}$ hortik kanpo. Kasu honetan jauzia bertikala dela suposatuko da, eta beraz, potentzial langaren barruan WKB hurbilketa eginez lortutako emaitza baliagarria da:

Potentzial langa. Transmisio eta islapen indizeak aztertzeko erabiliko den kasu partikularra.

${\displaystyle \psi (x)\cong {\frac {\tilde {C}}{\sqrt {|p(x)|}}}e^{-{\frac {1}{\hbar }}\int |p(x')|dx'}+{\frac {\tilde {D}}{\sqrt {|p(x)|}}}e^{{\frac {1}{\hbar }}\int |p(x')|dx'}\qquad (0<x<a)}$

Baina potentziala konstantetzat hartuko denez, ${\displaystyle |p(x)|}$ integrakizunetik atera daiteke. Ondoko parametroak definituz, ${\displaystyle \alpha \equiv p(x)/\hbar ={\sqrt {2m[E-V_{0}]/\hbar ^{2}}}}$ eta ${\displaystyle k\equiv {\sqrt {2mE}}/\hbar }$, eta integralaren ordez ${\displaystyle \int dx'=x}$ ipiniz, tarte horretan aurreko adierazpenek hartuko duten eitea hauxe da:

${\displaystyle \psi (x)={\frac {\tilde {C}}{\sqrt {\alpha \hbar }}}e^{-\alpha x}+{\frac {\tilde {D}}{\sqrt {\alpha \hbar }}}e^{\alpha x}}$

${\displaystyle \alpha }$ eta ${\displaystyle \hbar }$ konstanteak direnez ${\displaystyle {\tilde {C}}}$ eta ${\displaystyle {\tilde {D}}}$-ren barruan sar daitezke: ${\displaystyle \psi (x)=Ce^{-\alpha x}+De^{\alpha x}}$.

Beraz,

${\displaystyle \psi (x)=\left\{{\begin{array}{ll}&Ae^{ikx}+Be^{-ikx},\qquad &x<0\\&Ce^{-\alpha x}+De^{\alpha x},\qquad &0<x<a\\&Fe^{ikx},\qquad &a<x\end{array}}\right.}$

Oharra: kasu partikular honetan, emaitza berberera iritsiko litzateke espazioa hiru zatitan banatuz potentzialaren arabera eta Schrödingerren ekuazioa zati bakoitzean ebatziz, mugalde baldintzak errespetatuz.

Transmisio eta islapen koefizienteen adierazpenetara iristeko aurreko ekuazioetan mugalde baldintzak inposatu behar dira: ${\displaystyle \psi (0)}$, ${\displaystyle \psi (a)}$ eta bi hauen deribatuek jarraituak izan behar dute. Horrela lau ekuazio lortzen dira

Horma garai eta zabal bat zeharkatu duen uhin funtzioaren egitura kualitatiboa.

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}A+B=C+D\\ik(A-B)=\alpha (D-C)\\Ce^{-a\alpha }+De^{a\alpha }=Fe^{ika}\\\alpha (De^{a\alpha }-Ce^{-a\alpha })=Fike^{ika}\end{array}}\right.}$

Hemen soluzio zehatzak lor daitezke; hala ere, kalkuluak zailak dira. Baina horma oso handia edota oso garaia baldin bada (hau da, tunelatze-probabilitatea txikia da), esponentzialki hazten den gaiaren koefizienteak (${\displaystyle D}$) txikia izan behar du (izatez, zero izango litzateke horma infinituki handia balitz). Horrela, zuzenean hurrengoa lortzen da

${\displaystyle Ce^{-a\alpha }\approx Fe^{ika}\Rightarrow |C^{2}|e^{-2a\alpha }=|F|^{2}}$

Bestela, lehenengo bi ekuazioetatik, ${\displaystyle D=0}$ hartzen bada, ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A}$-ren funtzio gisa lor daiteke

${\displaystyle A+B=C\Rightarrow ik(2A-C)=-\alpha C\Rightarrow C={\frac {2ik}{ik-\alpha }}A}$

Lehen bezala, moduluak kalkulatzerakoan ondokoa lortzen da

${\displaystyle |D|^{2}={\frac {4k^{2}}{k^{2}+\alpha ^{2}}}|A|^{2}}$

Eta beraz, ${\displaystyle T}$ transimisio-indizea modu honetan idatz daiteke

${\displaystyle T={\frac {|F|^{2}}{|A|^{2}}}\approx {\frac {|C|^{2}}{|A|^{2}}}e^{-2ka}=4{\frac {k^{2}}{k^{2}+\alpha ^{2}}}e^{-2ka}}$

Orain, ${\displaystyle k}$ eta ${\displaystyle \alpha }$-ren definizioak ordezkatuz

${\displaystyle T\approx {\frac {4E}{V_{0}}}e^{-2a{\sqrt {2m(V_{0}-E)}}/\hbar ^{2}}}$

Transmisio-indizea (tunelatze probabilitatearen adierazletzat har daiteke) esponentzialki txikitzen da potentzial-langaren zabalera handitzean. Hala ere hau ez da emaitza zehatza. Hurbilketarik erabiltzen ez bada, lortutako adierazpena hau da[16]:

${\displaystyle T={\frac {1}{1+{\frac {4E}{V_{0}}}\left(1-{\frac {E}{V_{0}}}\right)\sinh ^{2}{a\alpha }}}}$

Modu berean, errefrakzio-indizea kalkula daiteke:

${\displaystyle R={\frac {{\frac {4E}{V_{0}}}\left(1-{\frac {E}{V_{0}}}\right)\sinh ^{2}{a\alpha }}{1+{\frac {4E}{V_{0}}}\left(1-{\frac {E}{V_{0}}}\right)\sinh ^{2}{a\alpha }}}}$

Erraz konproba daiteke ${\displaystyle R+T=1}$ betetzen dela, behar den moduan.

Artikulu nagusia: Desintegrazio erradioaktiboa

Desintegrazio erradioaktiboa atomo nukleo ezegonkorrek produktu egonkor bat lortzeko partikulak eta energia igortzen dituzten prozesua da. Hau partikulek nukleoan zehar tunelatzean gertatzen da (elektroi batek nukleora itzultzeko tunelatzen duenean prozesuari elektroi-harrapaketa deritzo). Hau izan zen tunel efektuaren lehen aplikazioa. Desintegrazio erradioaktiboa garrantzitsua da astrobiologian, tunel efektuaren ondorioz energia iturri handi bat sortzen baita denbora luzez irauten duena zona zirkunestelar bizigarrietatik at dauden inguruneetan, non intsolazioa ez den posiblea edo eraginkorra[17].

Artikulu nagusia: Fusio nuklearra

Izarren nukleoetan dauden hidroiek (hidrogeno katioiak) duten energia ez da nahikoa euren arteko aldarapen elektromagnetikoak sortzen duen potentzial langa gainditzeko, baina tunel efektuari esker, hidroi batzuek langa hau zeharka dezaten probabilitate txiki bat existitzen da euren arteko fusioa eraginez eta erradiazio elektromagnetiko gisa energia askatuz[18]. Tunel efektua gertatzeko probabilitatea oso baxua bada ere, izarretan dagoen partikula kopuruan hain da handia, efektu hau une oro gertatzen baita. Honek izar batek zenbat eta masa gehiago izan (erraldoi urdinak bezala) orduan eta sekuentzia nagusi laburragoa izatea azaltzen du, hidroien energia zinetikoa handiagoa baita, eta bera, tunel efektua gertatzeko probabilitatea ere bai[19].

Tunel efektua korronte ihesen iturria da oso integrazio maila handiko (VLSI) elektronikan, eta honen ondorio dira energia kontsumo handia eta aparailu elektronikoei eragiten dien berotze efektuak. Aparailu mikroelektronikoak eraikitzeko behe limite kontsideratzen da[20]. Gainera, tunelazioa oinarrizko teknika bat da flash memorien ate flotatzaileen programazioan.

Elektroien eremu efektuko igorpena garrantzitsua da erdieroaleen eta supereroaleen fisikan. Igorpen termoionikoaren antzekoa da, non elektroiak zoriz metal baten gainazaletik jauzi egiten duten tentsio-elektrikoaren alborapena jarraituz, estatistikoki, beste partikulekin egindako zorizko talken ondorioz elektroiek potentzial langak baino energia gehiagorekin amaitzen baitute. Eremu elektrikoa oso handia denean, langa elektroiak egoera atomikotik at tunela daitezen bezain fina egiten da, gutxi gorabehera eremu elektrikoarekiko esponentzialki aldatzen den korronte bat sortuz[21]. Material hauek oso garrantzitsuak dira flash memorietan, hutseango hodietan eta mikroskopio elektronikoetan.

Bi eroale isolatzaile oso fin batekin banantzean, oztopo sinple bat sor daiteke, zeinari tunel lotura deritzon, eta tunel efektuari esker, elektroi batzuek oztopo hau gaindi dezakete[22]. Josephson loturek tunel efektua eta erdieroale batzuen supereroankortasuna erabiltzen dituzte Josephson efektua sortzeko. Hau tentsioak eta eremu magnetikoak[21] zehaztasunez neurtzeko aplika daiteke, baita zelula fotovoltaiko lotura-anitzetan ere.

AZK elektroien tunel efektua erabiltzen duen teknologia molekular bitar logiko bat da. Aparailu hau azkarra da eta oso potentzia gutxirekin lan egiten du, eta gehienez 15PHz-etan ibil daiteke[23].

Erresonantziazko tunel diodo baten mekanismoa

Diodoak gailu elektroniko erdieroaleak dira, korrontea alde baterantz mugatzen dutenak. Gailu hauek N-motako eta P-motako erdieroaleak eta euren arteko gainazal isolatzaile batez baliatzen dira funtzionatzeko. Hauek oso dopatuta daudenean, gainazal isolatzailea behar bezain txikia izan daiteke tunelatzea emateko. Aurrerantza doan korronte txiki bat aplikatzean, tunelatzea handia da, eta honen maximoa tentsioaren energia n eta p kondukzio banden mailan dagoenean dago. Tentsioa handitzean diodoek normal jokatzen dute[24].

Tunelatzea azkar jaisten denez, tunel diodoak euren korrontea tentsioa handitzearekin batera txikitzeagotzeko sortu daitezke. Ezaugarri berezi honek hainbat aplikazio ditu, tunelatzearen probabilitatea tentsioarekin batera azkar jaisten den abiadura handiko gailuak bezala[24].

Erresonantziazko tunel diodoek tunel efektua era ezberdin batean erabiltzen dute antzeko emaitza lortzeko. Diodo hauek erresonantzia tentsio bat izaten dute, zeina energia handiko bi kondukzio gainazal gertu jarriz lortzen den. Honek potentzial zulo kuantiko bat sortzen du, energia minimoko maila diskretua duena. Energia maila hau elektroiena baino handiagoa denean, ez da tunelatzerik ematen. Bi energiak parekatzean, elektroiak kable batean bezala igarotzen dira. Elektroien energia oraindik gehiago handitzean berriz, tunelatzea ez da probablea, eta diodoak diodo normal gisa lan egiten dute, bigarren energia maila bat nabaritu aurretik[25].

Europako ikerketa batek frogatu zuenez, eremu-efektuko transistoreetan, zeinaren atea tunel efektuaren bidez kontrolatzen den, atearen potentzial diferentzia 1V inguru izatetik 0,2V ingurura jaisten da, potentzia kontsumizioa ehun aldiz gutxituz. Transistore hauek VLSI mailan jarriz gero, beraien zirkuitu integratuen potentziarekiko errendimendua handituko litzateke[26].

Eroankortasun elektrikoaren Druderen ereduak metaletan elektroien eroankortasunaren aurresan bikainak egiten baditu ere, hau tunel efektuaren bidez hobetzea dago, elektroien arteko talkak azalduz[21]. Elektroi uhin askeen multzo bat uniformeki banatuta dauden oztopoekin topatzen denean, zati islatuak uniformeki interferitzen du oztopo guztietan zehar transmititu den zatiarekin, %100-eko transmisioa posible eginez. Teoria honek dioenez, positiboki kargatutako nukleoek forma guztiz errektangular bat osatzen badute, elektroiak metalean zehar elektroi aske gisa tunelatuko dute, izugarrizko eroankortasuna lortuz, eta metalaren ezpurutasunek asko alda dezakete[21].

Tunel efektuko mikroskopioa (ingelesez, Scanning tunneling microscope edo STM) Gerd Binning eta Heinrich Rohrer-ek asmatutako eta maila atomikoko irudiak lortzen dituen mikroskopioa da, material baten gainazaleko atomo bakar baten irudia lor dezakeena[21]. Funtzionatzeko tunelatzearen eta distantziaren arteko erlazioaz baliatzen da. Punta eroale bat aztertu nahi den gainazaletik oso hurbil kokatzen da, eta polarizazio korronte bat aplikatzean elkarren artean, elektroiak batetik bestera pasa daitezke tunel efektuaren bitartez, elkarren arteko hutsa gaindituz. Informazioa lortzeko korrontea monitorizatzen da puntaren posizioak gainazala zeharkatzen duen bitartean, eta irudi bezala erakusten da. Tunel efektuko mikroskopioak erronka ugari ditu, gainazal izugarri garbi eta egonkorrak behar baitira, eta baita punta zorrotzak, bibrazioen kontrol bikaina eta elektronika sofistikatua ere. Mikroskopio hauen bereizmena 0,001nm edo atomo baten diametroaren %1 da[25].

Biologia kuantikoan, tunel efektua efektu kuantiko ez tribialen artean garrantzitsuenetarikoa da. Gainera, ez da soilik elektroien tunelatzea erabiltzen, protoiena ere bai[27]. Elektroien tunelatzea funtsezkoa da hainbat erredox erreakzio biokimikotan (fotosintesia eta arnasketa zelularra bezala), eta baita entzimetan gertatzen den katalisian ere. Protoien tunelatzea berriz, giltzarria da DNA mutazio espontaneoetan[17].

Mutazio espontaneoak bereziki esanguratsua den protoi batek tunelatu ostean DNA normal erreplikatzean ematen dira[28]. Hidrogeno lotura bat DNA base pareetara batzen da. Hidrogeno loturan zehar dauden bi potentzial zulok potentzial langa bat banantzen dute. Uste da potentzial zulo bikoitza asimetrikoa dela, zulo bat bestea baino sakonagoa izanik, protoia sakonenean egonik. Mutazioa jazo dadin, protoiak sakonena ez den potentzial zulora tunelatu behar du. Protoiaren mugimendu honi trantsizio tautomeroa deritzo. DNA mutazioa egoera honetan ematen bada, DNA baseen parekatzea arriskuan jartzen da eta mutazio bat gerta daiteke[29]. Per-Olov Lowdin izan zen teoria hau garatzen lehenengoa. Uste da tunel efektuaren eraginez emandako beste mutazio mota batzuen ondorio direla zahartzea eta minbizia ere[28].