Topologia orokor

Izan bedi X multzoa eta τ X-ren azpimultzoen familia. Esaten da τ X-ren gaineko topologia dela baldin eta:[1][2]

1- Multzo hutsa eta X τ familiaren elementuak badira

2- τ familiaren elementuren edozein subfamilia finituren ebakidura τ familian badago

3- τ familiaren elementuren edozein familiaren bildura τ familian badago

τ familia X-ren gainean definitutako topologia bada, (X,τ) bikotea espazio topologikoa dela esaten da.

τ familiaren elementuei X-ren multzo ireki deitzen zaie. Azpimultzo bat itxia izango da bere osagarria τ familian badago, hau da, bere osagarria irekia bada. X-ren azpimultzo bat irekia, itxia, biak edo bat ere ez izan daiteke. Hutsa eta X topologia guztietan irekiak eta itxiak dira.

Izan bitez (X,τ_x) espazio topologikoa eta A ⊆ X. A trinkoa dela esango dugu baldin eta A-ren edozein estalki irekik azpiestalki finitu bat badu. Bestela, ez-trinkoa deitzen da. Adibidez, R ez da trinkoa ohiko topologian, {U_n}=(-n,n) R-ren estalki irekia hartuz gero, ez da existitzen azpiestalki finiturik. Hau ere beste modu batean ondoriozta dezakegu ondorengo propietatea erabiliz: ohiko topologian, multzo bat trinkoa da baldin eta soilik baldin itxia eta bornatua bada.

Matematikaren adar batzuetan, geometria aljebraikoan esate baterako, "ia trinkoa" terminoa erabiltzen dute kontzeptu orokorra adierazteko, eta trinko hitza gordetzen dute Hausdorff eta ia trinkoak diren espazio topologikoetarako.

R-ko luzera finituko tarte itxi guztiak trinkoak dira. Gainera, Rⁿ-n ere multzo bat trinkoa da baldin eta soilik baldin itxia eta bornatua da.

Espazio trinko baten irudi jarraitu guztiak trinkoak dira.

Hausdorff den espazio batean azpimultzo trinko bat itxia da.

Bijekzio jarraitu guztiak espazio itxi batetik Hausdorff den beste batera, homeomorfismoak dira.

X espazio topologiko bat ez-konexua dela esaten da bi multzo ireki ez huts disjuntuen bildura bada. Bestela, X konexua dela esaten da. Espazio topologiko baten azpimultzo bat konexua dela esaten da konexua bada azpiespazio topologikoan. Egile batzuek multzo hutsa baztertzen dute espazio konexu bezala, baina hemen ez dugu irizpide hori jarraituko.

X espazio topologiko baterako ondoko baieztapenak baliokideak dira:

• X konexua da
• X ezin da banandu bi multzo itxi ez huts disjuntuetan
• X-ren azpimultzoen artean, bakarrik X eta multzo hutsa dira irekiak eta itxiak aldi berean.
• X-ren azpimultzoen artean, bakarrik X eta multzo hutsa dira muga hutsa dutenak.

R-ko tarte guztiak konexuak dira.

Espazio konexu baten irudia konexua da.

Izan bedi

X = ${\displaystyle \prod _{i\in I}}$X_i

X_i, i∈I espazio topologikoen biderkadura kartesiarra. Multzo horri biderkadura topologia (Tychonoff-en topologia deiturikoa) egokitu dakioke.

Biderkadura topologian azpimultzo irekiak ${\displaystyle \prod _{i\in I}}$U_i itxurako azpimultzoen bildurak dira, U_i ∈ τ_i izanik, eta U_i ≠ X_i kopuru finitu batean. Topologia honek proiekzio koordenatuak p_i: X → X_i jarraituak egiten ditu, eta X-ren gainean beste topologia bat ezartzen bada proiekzio koordenatuak jarraituak egiten dituena, Tychonoff-en topologia baino finagoa izango da.

Biderkadura topologia proiekzio koordenatuen bidez zehaztu daiteke: p_i^-1(U) itxurako azpimultzoek sortutakoa baita, i∈I eta U_i∈τ_i izanik. Hau da, {p_i⁻¹(U)} azpimultzoek X-ren gaineko topologiaren azpioinarri bat osatzen dute. X-ren azpimultzo bat irekia izango da baldin eta soilik baldin p_i⁻¹(U) itxurako multzoen ebakidura finituen bildura (infinitua izan daiteke) bada. p_i⁻¹(U) multzoek zilindro ireki izena jasotzen dute eta haien ebakidura finituek X-ren ireki-oinarri bat osatzen dute.

Orokorrean, X_i bakoitzeko irekien biderkadurek kutxa-topologia deritzon topologiaren ireki-oinarri bat osatzen dute. Orokorrean, kutxa-topologia Tychonoff-en topologia baino finagoa da, baina biderkadura finituetarako berdinak dira.

Biderkadura espazioetan, trinkotasunari dagokionean, Tychonoff-en teoremak zehazten du espazio trinkoen biderkadura trinkoa izango dela.

Izen hauetako askok beste esanahiak dituzte literatura matematiko batzuetan, adibidez "normal" eta "T₄" batzuetan elkarren artean trukatzen dira, baita "erregular" eta "T₃" ere, eta abar. Kontzeptu askok ere izen desberdinak dituzte; zerrendatuetan lehenengoa da beti anbiguoa izateko aukera gutxien dituena.

Hurrengo definizioetan (X ,τ) espazio topologikoa da:

• X T₀ edo Kolmogorov da X-ko edozein bi puntu x eta y desberdin emanda, existitzen bada U ireki bat x barruan duena eta y ez, edo y barruan duena eta x ez. Hau da,

${\displaystyle \forall x,y\in X,x\neq y\ \Rightarrow \ \exists U\in \tau$ :[x\in U\ eta\ y\notin U]\ edo\ [x\notin U\ eta\ y\in U]}

• X T₁ edo Fréchet da X-ko edozein bi puntu x eta y desberdin emanda, existitzen bada U ireki bat x barruan duena eta y ez, eta beste V ireki bat y barruan duena eta x ez. Hau da,

${\displaystyle \forall x,y\in X,x\neq y\ \Rightarrow \ \exists U,V\in \tau :x\in U,y\notin U\ eta\ x\notin V,y\in V}$

Propietate honen baliokidea da X espazioko edozein x puntu emanda, {x} azpimultzoa itxia izatea. Ohikoa da banantze axiomen artean T₁ eskatzen duen axiomaren bertsio bat eta T₁ eskatzen ez duen beste bat egotea.

• X Hausdorff edo T₂ da X-ko edozein bi puntu x eta y desberdin emanda, existitzen badira bi ireki U eta V disjuntu, batek x barruan duena eta besteak y. Hau da,

${\displaystyle \forall x,y\in X,\ x\neq y\ \Rightarrow \ \exists U,V\in \tau :x\in U,\ y\in V\ eta\ U\cap V=\emptyset }$

• X erregularra da X-ko F azpimultzo itxi bat eta F-tik kanpo dagoen x puntu bat emanda, existitzen badira U eta V bi ireki disjuntu, batek F barruan duena eta besteak x. Hau da,

${\displaystyle \forall F\in C_{X}\ eta\ \forall x\in X,x\notin F\ \Rightarrow \ \exists U,V\in \tau :F\subseteq U,\ x\in V\ eta\ U\cap V=\emptyset }$

X erregularra eta T₁ bada, T₃ dela esaten da.

• X normala da X-ren edozein F eta G bi azpimultzo itxi disjuntu emanda, existitzen badira U eta V bi ireki disjuntu batek F barruan duena eta besteak G. Hau da,

${\displaystyle \forall F,G\in C_{X},F\cap G=\emptyset \ \Rightarrow \ \exists U,V\in \tau :F\subset U,\ G\subset V\ eta\ U\cap V=\emptyset }$

X normala eta T₁ bada, T₄ dela esaten da.

Banantze axiomen artean hurrengo inplikazioak betetzen dira:

${\displaystyle T_{4}\Rightarrow T_{3}\Rightarrow T_{2}\Rightarrow T_{1}\Rightarrow T_{0}}$

Kontagarritasun axioma bat objektu matematiko baten (normalean kategoria batekoa) propietate bat da, propietate zehatz batzuk betetzen dituen multzo kontagarri baten existentzia eskatzen duena.

Espazio topologikoen kontagarritasun axioma garrantzitsuenak:

• Espazio lehen zenbakigarria: puntu bakoitzak ingurune-oinarri kontagarri bat dauka.

• Espazio bigarren zenbakigarria: topologiak ireki-oinarri kontagarri bat dauka.

• Espazio banangarria: azpiespazio dentso kontagarri bat existitzen da.

• Lindelöf espazioa: edozein estalki-irekik azpiestalki kontagarri bat dauka.

Axiomen arteko erlazioak:

• Edozein espazio bigarren-kontagarri lehen-kontagarria, banangarria eta Lindelöf da.

• Espazio metrikoak lehen-kontagarriak dira.

• Espazio metrikoetan bigarren-kontagarritasuna, banangarritasuna eta Lindelöf propietateak baliokideak dira.

• Espazio topologikoa