Metrika tentsore

Artikulu honetan zehar metrikaren signatura sasi-positiboa hautatuko da (- + + +)[1]. G grabitazio unibertsalaren konstantea esplizituki adieraziko da. Seinuen hitzarmena iturriaren arabera alda daiteke. Azken hitzarmen gisa, ohartu artikuluan zehar Einsteinen baturaren hitzarmena aplikatuko dugula, eta beraz, ondorengoak baliokideak dira.[2]

${\displaystyle y=\sum _{\mu =0}^{3}x^{\mu }}$ , ${\displaystyle y=x^{\mu }}$

Matematikari dagokionez, espazio-denbora lau dimentsioko barietate diferentziagarri baten bidez adierazten da, ${\displaystyle M}$, eta metrika bigarren mailako tentsore kobariante, alderanzgarri eta simetriko baten bidez, ${\displaystyle g}$. Tentsore hori degenerazio gabekoa eta (- + + +) signaturaduna izan behar da. Metrika hau darabilen barietati bati Lorentz-en barietatea deritzo.

Esplizituki, tentsore metrikoak forma bilinear simetrikoa dauka puntuz puntu diferentziagarria den ${\displaystyle M}$-rekiko tangentea den espazio bakoitzean.

Suposatu bi bektore tangente, ${\displaystyle u}$ eta ${\displaystyle v}$, ditugula ${\displaystyle M}$-ko ${\displaystyle x}$ puntuan. Orduan, metrika ${\displaystyle u}$ eta ${\displaystyle v}$ bektoreetan ebaluatu daiteke balio erreal bat eskuratzeko.

${\displaystyle g_{x}(u,v)=g_{x}(v,u)\in \mathbb {R} }$

Metrika biderketa eskalarraren orokorpena da espazio Euclidear arrunt batentzako. Baina, espazio Euclidearrean ez bezala, non biderketa eskalarra positiboki definituta dago, metrika ez dago definituta eta espazio tangente orori Minkowskiren espazioaren egitura ematen dio.[3]

Fisikariek askoran koordenatu lokaletan lan egiten dute. Koordenatu lokalak ${\displaystyle x^{\mu }}$ izanik (non ${\displaystyle \mu }$ 0-tik 3-ra doan zenbaki bat den) metrika hurrengo eran idatzi daiteke

${\displaystyle g=g_{\mu \nu }dx^{\mu }\otimes dx^{\nu }.}$

${\displaystyle dx^{\mu }}$ faktoreak koordenatu eskalarren eremuaren 1-forma gradienteak da. Beraz, metrika koordenatuen 1-forma gradienteen biderkadura tentsorialen konbinazio lineala da. 16 koefiziente errealez osatuta egongo da metrika (tentsorea eremu tentsorial izanik, espazio-denbora barietatearen puntu guztietan definituta egongo delako). Dena dela, metrika simetrikoa izango bada,

${\displaystyle g_{\mu \nu }=g_{\nu \mu }}$

beraz, 10 koefiziente baino ez dira izango independienteak.

Erlatibitate orokorrerako espazio-denboraren metrika tentsorearen adierazpen matrizeala

Koordenatu lokalak ezagunak badira (aurretiaz zehaztu direlako edo testuingurutik ondorioztatuz), ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ gaiek osaturiko 4 ${\displaystyle \times }$ 4 dimentsioko matrize gisa adierazi daiteke metrika, matrizea simetriko izanik. ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ degeneratu gabea denez gero matrize hori ez da singularra izango. Signaturatik ondoriozta daiteke matrize horren autobalioetako bat negatiboa izango dela eta beste hirurak positiboak. Kontuan izan, fisikaren arloan, matrize hau bera edo ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ koordenatuak direla adierazi nahi duguna metrika aipatzean.

Aurretiaz ez bezala, ${\displaystyle dx^{\mu }}$ gaiak koordenatuen desplazamendu tetrabektorial baten gai infinitesimalak izango dira (lehen 1-forma gradienteak ziren baina notazioa aldatuko dugu orain). Metrikak desplazamendu infinitesimal baten aldaezinaren karratua zehaztuko du, tarte gisa ezagutuko duguna. Tarte hori hurrengo eran adieraziko dugu:[4]

${\displaystyle ds^{2}=g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }.}$

Tarte hori oso loturiko dago espazio-denboraren egitura kausalarekin. ${\displaystyle ds^{2}<0}$ denean, denbora motako tartea daukagu esku artean. Masadun objektuek denbora motako tarteetan zehar bakarrik desplazatu daitezke. ${\displaystyle ds^{2}=0}$ denean, argi motako tartea dugu eta argi konoa mugatzen du. Mota honetako tarteetan zehar bidaiatzen dute argiaren abiaduran desplazatzen diren masa gabeko partikulak. ${\displaystyle ds^{2}>0}$ denean, tartea espazio motakoa da. Espazio motako tarteetan zehar ezin da desplazatu objekturik, argi konotik kanpo dagoelako. Tarte mota honetan kausaltasuna ez da posiblea. Bi gertaera kausa-ondorioa izan daitezen argi konoen barnean egon behar du espazio-denbora aldaezinak.

Ohartu metrikaren gaiak hautaturiko koordenatu sistema lokalaren araberakoak direla. Beraz, ondorengo eran transformatzen dira metrikaren gaiak ${\displaystyle x^{\mu }\to x^{\bar {\mu }}}$ koordenatu aldaketa burutzean:[5]

${\displaystyle g_{{\bar {\mu }}{\bar {\nu }}}={\frac {\partial x^{\rho }}{\partial x^{\bar {\mu }}}}{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial x^{\bar {\nu }}}}g_{\rho \sigma }=\Lambda ^{\rho }{}_{\bar {\mu }}\,\Lambda ^{\sigma }{}_{\bar {\nu }}\,g_{\rho \sigma }.}$

${\displaystyle g}$ metrikak guztiz definitzen du espazio-denboraren kurbatura. Riemann-en geometriaren oinarrizko teoremaren arabera, edozein barietate sasi-Riemanndarrean konexio bakarra dago metrikarekin bateragarria eta tortsio-gabea dena. Konexio horri Levi-Civita konexioa deritzo. Konexio horren Christoffel-en ikurrak metrikaren ${\displaystyle x^{\mu }}$ koordenatu lokalekiko deribatu partzialen funtzioan eman daitezke hurrengo eran[6]${\displaystyle \Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu }={1 \over 2}g^{\lambda \rho }\left({\partial g_{\rho \mu } \over \partial x^{\nu }}+{\partial g_{\rho \nu } \over \partial x^{\mu }}-{\partial g_{\mu \nu } \over \partial x^{\rho }}\right)={1 \over 2}g^{\lambda \rho }\left(g_{\rho \mu ,\nu }+g_{\rho \nu ,\mu }-g_{\mu \nu ,\rho }\right)}$

(komen eskuinean ageri drie koefizienteek koefiziente horretako koordenatu lokalekiko deribatu partziala adierazten dute).

Espazio-denboraren kurbadura Riemann-en kurbadura tentsorearen bidez eman dezakegu, tentsore hau goian aipaturiko konexioen bidez definituz. Koordenatu lokaletan ondorengo forma izango du:

${\displaystyle {R^{\rho }}_{\sigma \mu \nu }=\partial _{\mu }\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma }-\partial _{\nu }\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \sigma }+\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \lambda }\Gamma ^{\lambda }{}_{\nu \sigma }-\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \lambda }\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \sigma }.}$

Aldi berean, konexioak metrikaren eta bere deribatu partzialen funtzio gisa eman daitekeenez, metrika ${\displaystyle g}$ eta bere deribatuen menpe bakarrik geratuko da kurbatura.[7][8][9]

Erlatibitate orokorraren ideia nagusietako bat da metrika zehaztea espazio-denborako materia eta energiaren arabera. Einstein-en eremu ekuazioek metrika eta kurbatura tentsorea (ikusi dugu tentsore hori guztiz lotuta dagoela metrikarekin) energia-momentu tentsorearekin ${\displaystyle T_{\mu \nu }}$ erlazionatzen dituela.

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{1 \over 2}Rg_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\,T_{\mu \nu }}$

non Ricci-ren kurbatura tentsorea:

${\displaystyle R_{\nu \rho }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {R^{\mu }}_{\nu \mu \rho }}$

eta kurbatura eskalarra ditugun:

${\displaystyle R\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }}$

Energia-momentu tentsorea ekuazio diferentzial partzial ez-linealen multzo konplikatu bat da. Hori dela eta, Einstein-en eremu ekuazioen soluzioak lortzea nahiko zaila da.[10][11][12]

Metrika asko eta asko badaude ere, bakoitzak bere abantailak eta arazoak ditu aztertzen ari garen ingurunearen arabera. Ondo aukeratuz gero, baliteke metrika batek Einsteinen ekuazioen soluzioak era erraz batean ematea proposaturiko kasurako.

Berton hiru metrika sakonduko ditugu erlatibitate orokorrarentzako duten garrantziagatik.

t elementuaz parametrizaturiko kurba baten luzeera, ${\displaystyle a}$-tik ${\displaystyle b}$-rako tarte batean, ondorengoa da:[21]

${\displaystyle L=\int _{a}^{b}{\sqrt {g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}\ dt}$

U eta V bektoreen arteko angelua ondorengo eran defintitzen da:

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {g_{\mu \nu }U^{\mu }V^{\nu }}{\sqrt {\left|g_{\mu \nu }U^{\mu }U^{\nu }\right|\left|g_{\mu \nu }V^{\mu }V^{\nu }\right|}}}}$

R ingurune baten bolumena ondorengo eran lortzen da:

${\displaystyle V_{R}=\int _{R}{\sqrt {|\det[g_{\mu \nu }]|}}\,dx^{0}\wedge dx^{1}\wedge dx^{2}\wedge dx^{3}}$

• Wald, Robert M.. (1984). General relativity. ISBN 0-226-87032-4. PMC 10018614. (Noiz kontsultatua: 2021-05-09).
• Wald, Robert M. (1984). General Relativity. University of Chicago Press.
• D'Inverno, Ray. (1992). Introducing Einstein's relativity. ISBN 0-19-859686-3. PMC 24067309. (Noiz kontsultatua: 2021-05-09).
• Aguirregabiria, Juan M. (2017). Grabitazioa eta Kosmologia. Euskal Herriko Unibertsitatea (UPV/EHU). ISBN: 978-84-9860-710-9
• Rindler, Wolfgang. (2006). Relativity : special, general, and cosmological. (2nd ed. argitaraldia) Oxford University Press ISBN 978-0-19-152433-2. PMC 181757331. (Noiz kontsultatua: 2021-05-09).