Tentsio mekaniko

Indarren eta indar-momentuen sistema baten mende dagoen gorputzean, tentsio mekanikoen eragina ikus daiteke, baldin eta gorputza bi zatitan banatzen duen π irudizko plano baten bidez ebakitzen bada. Zati bakoitza oreka mekanikoan egon dadin, zati bakoitzaren ebaketa-azaleraren gainean berriro ezarri beharko litzateke gorputzaren beste aldeak egiten zuen interakzioa. Hala, azaleko elementu bakoitzean (dS), oinarrizko indar batek (dF) eragin behar du, eta, indar horretatik abiatuta, tentsio-bektore bat (tπ) definitzen da oinarrizko indar hori elementuaren gainazalaren artean zatitzearen emaitza gisa.

${\displaystyle \mathbf {t} _{\pi }={\frac {d\mathbf {F} }{dA}}}$

Tentsio-bektore hori gorputzaren barne-tentsioaren, hautatutako puntuaren koordenatuen eta π (n_π) planoarekiko ohiko bektore unitarioaren araberakoa da. Froga daiteke t_π eta n_π erlazionatuta daudela T aplikazio lineal baten bidez edo tentsio-tentsore izeneko eremu-tentsore baten bidez:

${\displaystyle \mathbf {t} _{\pi }=\mathbf {T} \left(\mathbf {n} _{\pi }\right)}$

Tentsio mekanikoa presio-unitateetan adierazten da, hau da, indarra gainazalaren artean zatituta. Nazioarteko Sisteman, tentsio mekanikoaren unitatea paskala da (1 Pa = 1 N/m²). Hala ere, ingeniaritzan ohikoa da beste unitate batzuk ere adieraztea, hala nola kg/cm² edo kg/mm², non «kg» kilopondoa edo kilogramo-indarra baita, ez masa kilogramo unitatea.

Izan bedi ${\displaystyle B\,}$ deformatutako ingurune jarraitu bat; beraz, ${\displaystyle V\subset B\,}$ azpidomeinu bakoitzean ${\displaystyle t\,}$ eremu bektorial bat dago, tentsio-eremu izenekoa, eta, hala, ${\displaystyle f\in \mathbb {R} ^{3}}$ bolumen-indarrek eta ${\displaystyle t\in \mathbb {R} ^{3}}$ tentsio-eremuak oreka-ekuazio hauek betetzen dituzte:

${\displaystyle \int _{V}f(\mathbf {x} )dV+\int _{\partial V}t(\mathbf {x} ,n)dA=0}$

${\displaystyle \int _{V}\mathbf {x} \times f(\mathbf {x} )dV+\int _{\partial V}\mathbf {x} \times t(\mathbf {x} ,n)dA=0}$

Printzipio hori Augustin Louis Cauchyk azaldu zuen bere forma orokorrean, nahiz eta aldez aurretik Leonhard Eulerrek formulazio ez hain orokorra egin. Printzipio horretatik froga daiteke Cauchy-ren teorema, Cauchy-ren printzipioa eta ${\displaystyle T\in C^{1}(B,\mathbb {R} ^{3})}$ tentsio-tentsore izeneko aplikazio lineal baten baliokidea dela honako ezaugarriekin:

1. ${\displaystyle t(\mathbf {x} ,n)=[T(\mathbf {x} )](n),}$
2. ${\displaystyle \operatorname {div} \,T(\mathbf {x} )+f(\mathbf {x} )=0,}$
3. ${\displaystyle T(\mathbf {x} )=T^{T}(\mathbf {x} )}$

Printzipio honen bidez, bektoreek gainazal batean duten jarduera definitzen duten bi postulatuak ere aipatu zituen.

Tentsiopean dagoen solido deformagarri baten puntu jakin bat hartu eta ebakidura bat aukeratzen bada irudizko π plano baten bidez, eta plano horrek bitan zatitzen badu solidoa, t_π tentsio-bektore bat definituta geratzen da, gorputzaren barne-tentsio-egoeraren, hautatutako puntuaren koordenatuen eta tentsio-tentsorearen bidez definitutako π planoaren n_π bektore unitario arruntaren araberakoa:

${\displaystyle {\mathbf {t} _{\pi }}={T(\mathbf {n} _{\pi })}\,}$

Eskuarki, bektore hori fisikoki efektu desberdinak eragiten dituzten bi osagaitan deskonposa daiteke, materialaren arabera harikorragoa edo hauskorragoa den. Bi osagai horiei tentsio-bektorearen osagai intrintsekoak deritze π planoarekiko, eta tentsio normala edo planoarekiko zuta eta tentsio tangentziala edo planoarekiko sestra deitzen zaie. Osagai horiek honela adierazten dira:

${\displaystyle {\begin{cases}\sigma _{\pi }=\mathbf {t} _{\pi }\cdot \mathbf {n} _{\pi }\\\tau _{\pi }=\|\mathbf {t} _{\pi }\times \mathbf {n} _{\pi }\|\end{cases}}\Rightarrow \qquad \|\mathbf {t} _{\pi }\|^{2}=\sigma _{\pi }^{2}+\tau _{\pi }^{2}}$

Era berean, bi solido kontaktuan daudenean eta bi solidoen bi punturen arteko tentsioak aztertzen direnean, kontaktu-tentsioaren aurreko deskonposizioa egin daiteke, bi solidoen gainazalekiko plano tangentearen arabera. Kasu horretan, tentsio normalak gainazalarekiko perpendikularra den presioarekin du zerikusia, eta tentsio tangentzialak bien arteko marruskadura-indarrekin du zerikusia.