Singularitate grabitazional

Singularitate konikoa puntu jakin batean espazio-denbora leuna ez denean gertatzen da. Ondorioz, espazio-denborak kono itxura du puntu honen inguruan eta singularitatea konoaren erpinean kokatuta egongo da.

Horrelako singularitatearen adibide dira hari kosmikoak eta Schwarzschild-en zulo beltzak.

Biratzen ez duen zulo beltz baten irudia: bere singularitatea erdian dago.

Erlatibitate orokorreko emaitzek edo beste teoria grabitatorio batzuetako (adibidez supergrabitatea) emaitzek erakusten dute elkartzen diren puntu batzuetan metrikak infinitura jotzen duela. Hala ere, horrelako puntu asko erregularrak dira eta infinituak lor ditzakegu koordenatu sistema okerra erabiltzearen ondorioz. Beraz, frogatzeko benetan puntu jakin bat singularitatea den ala ez, ikusi behar da puntu horretan difeomorfismo aldaezinen kantitateak (adibidez, eskalarrak) infinitu bilakatzen diren ala ez; horrelako kantitateak berdinak baitira edozein koordenatu sistemetan.

Honen adibide da Schwarzschild-en soluzioa zeinak biratzen ez duen eta kargatu gabeko zulo beltza deskribatzen duen. Zulo beltzetik urrun dauden zonaldeetan egokiak diren koordenatu sistemetan, metrikaren zati bat infinitu bihurtzen da gertaeren mugan. Aitzitik, espazio-denbora erregularra da gertaeren mugan. Erregulartasun hori oso argi ikusten da koordenatu sistema aldatzean (adibidez Kruskal koordenatuak erabiltzean), non metrika erabat leuna den. Aldiz, zulo beltzaren zentruan non metrika infinitu bihurtzen den baita ere, emaitzak esaten digu singularitatea existitzen dela. Singularitatearen existentzia onar daiteke Kretschmann eskalarra infinitua delako eta hau difeomorfismo aldaezina da.

Biratzen ez duen zulo beltz batean singularitatea puntu batean gertatzen den bezala, biratzen duen zulo beltz batean (Kerr zulo beltza) singularitatea eraztun batean gertatzen da. Horrelako singularitateak teorikoki zizare zuloak bihur daitezke.

Orokorrago esanda, espazio-denbora singularra dela esan dezakegu bere geodesikoa osatugabe dagoenean. Honek esan nahi du partikula batzuk erorketa askean daudela eta beraien mugimendua ezin dela definitu denbora finitu batean. Adibidez, biratzen ez duen zulo beltz baten barruko edozein behatzaile zulo beltzaren zentrura eroriko litzateke denbora finitu batean. Big Bang-en bertsio klasikoak dio singularitate kausal bat zegoela denboraren hasieran (t=0), non geodesikoak ez diren zabaltzen iraganera. Denbora 0 honetara atzerantz estrapolatuz, zero tamainako dimentsio espazialeko unibertsoa lortzen dugu; dentsitate infinitua, tenperatura infinitua eta espazio-denbora kurbadura infinitua dituena.

1990 urteraino pentsatzen zen erlatibitate orokorrak singularitate bat ezkutatzen zuela gertaeren muga bakoitzean eta horrela ezinezkoa litzateke singularitate biluziaren existentzia. Honi zentsura kosmologikoa deritzo. Hala ere, 1991n, Stuart Shapiro eta Saul Teukolsky fisikariek biratzen duten hautsezko planoen ordenagailu bidezko simulazioak egin zituzten eta hauetan ikusi zuten erlatibitate orokorrak onar ditzakeela singularitate biluziak. Horrelako objektuek zein itxura izango duten ez da ezagutzen. Ezta ere ezagutzen ea singularitatea gertatuko litzatekeen simulazioak egiteko hurbilketak kenduko balira. Hala ere, hipotesi bat dago zeinak dioen singularitate biluzi batek zulo beltz baten itxura izan dezakeela[13][14][15].

Desagertzen diren gertaeren mugak existitzen dira Kerr-en metrikan; hauek hutseango zulo beltzak dira momentu angeluarra (${\displaystyle J}$) behar bezain handia bada. Kerr metrika Boyer-Lindquist koordenatuetara transformatuz, ikus daiteke[16] gertaeren mugen koordenatua${\displaystyle {\displaystyle r_{\pm }=\mu \pm (\mu ^{2}-a^{2})^{1/2}}r_{\pm }}$ dela non ${\displaystyle {\displaystyle \mu =GM/c^{2}}\mu }$ eta ${\displaystyle {\displaystyle a=J/Mc}a}$ diren. Kasu honetan, gertaeren mugak desagertzeak esan nahi du soluzioak konplexuak direla ${\displaystyle {\displaystyle r_{\pm }}}$ edo ${\displaystyle {\displaystyle \mu ^{2}<a^{2}}}$-rentzat. Alabaina, hau lot daiteke kasu batekin non ${\displaystyle J}$, ${\displaystyle {\displaystyle GM^{2}/c}}$ baino handiagoa den ( edo Plancken unitateetan ${\displaystyle {\displaystyle J>M^{2}}}$), esaterako spinak beretzat fisikoki posiblea den baliorik handiena pasatzen du.

Era berean, desagertzen diren gertaeren mugak kargatutako zulo beltzen Reissner-Nordström geometriaren bidez ikus daitezke karga (${\displaystyle Q}$) behar bezain handia bada[16]. Metrika honetan, ikus daiteke singularitateak ${\displaystyle {\displaystyle r_{\pm }=\mu \pm (\mu ^{2}-q^{2})^{1/2}}r_{\pm }}$ gertatzen direla non ${\displaystyle {\displaystyle \mu =GM/c^{2}}}$ eta ${\displaystyle {\displaystyle q^{2}=GQ^{2}/(4\pi \epsilon _{0}c^{4})}}$. ${\displaystyle \mu }$ eta ${\displaystyle q}$-ren hiru balio erlatibo posibleetatik ${\displaystyle \mu ^{2}<q^{2}}$ kasuak bi ${\displaystyle r_{\pm }}$-ak konplexu izatera eramaten ditu. Honek esan nahi du metrika erregularra dela ${\displaystyle r}$-ren balio positibo guztietarako, edo beste modu batera esanda, singularitateak ez du gertaeren mugarik. Hala ere, honen kasu bat da ${\displaystyle {\displaystyle Q/{\sqrt {4\pi \epsilon _{0}}}}}$, ${\displaystyle {\displaystyle M{\sqrt {G}}}}$ baino handiagoa denean (Plancken unitateetan ${\displaystyle {\displaystyle Q>M}}$), adibidez kargak beretzat fisikoki posible den baliorik handiena pasatzen du. Esan beharra dago astrofisikan zulo beltzek ez dutela normalean kargarik izaten.

${\displaystyle M}$ txikiena duen zulo beltzari, bere ${\displaystyle J}$ eta ${\displaystyle Q}$ balioek goian ezarritako mugekin bat etorriz, extremala deritzo.

Reissner eta Nordströmen soluzioa honakoa da [9]:

${\displaystyle E={\frac {q}{r^{2}}}}$

${\displaystyle ds^{2}=-\Delta c^{2}dt^{2}+\Delta ^{-1}dr^{2}+r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}{\theta }d\phi ^{2})}$

Metrika honen singularitate bakarra ${\displaystyle r=0}$ balioan gertatzen da, baina goiko ekuazioak koordenatu-singularitate bat du ${\displaystyle \Delta =0}$ ekuazioaren soluzio erreal bakoitzeko [9]:

${\displaystyle r_{\pm }={\frac {r_{s}\pm {\sqrt {r_{s}^{2}-4r_{q}^{2}}}}{2}}}$

${\displaystyle r_{s}<2r_{q}}$ denean, ${\displaystyle r_{\pm }}$ irudikariak izango dira. Kasu honetan ${\displaystyle r=0}$ funtsezko singularitatea denbora motakoa izango da eta ez ditu erakarriko inguruko fotoi eta partikula guztiak. Izan ere, ${\displaystyle d\theta =d\phi =0}$ plano batean geodesiko nulu erradialen ekuazioak era honetan idazten dira:

${\displaystyle ds^{2}=0=d\theta =d\phi \to d{\frac {dt}{dr}}=\pm \Delta ^{-1}}$

${\displaystyle ct=\pm [r-{\frac {2r_{q}^{2}-r_{s}^{2}}{\sqrt {4r_{q}^{2}-r_{s}^{2}}}}\arctan {\frac {2r-r_{s}}{\sqrt {4r_{q}^{2}-r_{s}^{2}}}}+{\frac {r_{s}}{2}}\ln {\frac {r^{2}\Delta }{r_{s}^{2}}}]+K}$

Horizonterik ez dagoenez, singularitate biluzia da eta horrelakoekin kausaltasun arazoak sortzen direnez, Penroseren zentsura kosmikoaren hipotesiaren arabera, ez da soluzio fisikorik onartzen[9].